На протяжении двадцати веков ни одна из многочисленных попыток доказать пятый постулат не привела к желаемому результату. У некоторых математиков возникла идея попытаться доказать пятый постулат методом от противного. Отсюда остается лишь один шаг до вывода о том, что пятый постулат не зависит от остальных аксиом евклидовой геометрии. Но авторитет «Начал» был все еще столь велик, что сделать этот шаг было отнюдь не просто. Остановимся в связи с этим на исследованиях двух математиков XVIII в.

Итальянский математик, иезуит Джованни Джироламо Саккери (1667 — 1733) решил подойти к вопросу доказательства пятого постулата следующим образом.

Пусть из концов отрезка АВ проведены два отрезка АA1 и BB1, перпендикулярные отрезку АB, при этом АA1 = BB1. Эта фигура в честь итальянского математика была названа четырехугольником Саккери (рис. 17). Прежде всего, не опираясь на пятый постулат, Саккери доказал, что ∠A1 = ∠B1. Отсюда не следует, естественно, что эти углы прямые. Относительно углов A1 и B1 можно сделать три предположения: 1) либо оба угла острые; 2) либо оба угла тупые; 3) либо оба угла прямые. Эти предположения получили название соответственно гипотез острого, тупого, прямого угла.

Саккери    установил    прежде всего, что гипотеза прямого угла равносильна постулату Евклида. Следовательно дальнейший план действий должен был состоять в том, чтобы отвергнуть гипотезы острого и тупого угла, т. е. доказать, что на этом пути обнаруживаются противоречия. Саккери удалось устранить гипотезу тупого ума. В конце XVIII в. Лежандр доказал, что сумма углов треугольника не может превосходить 2d. Теорема Лежандра эквивалентна указанному результату Саккери.

Далее усилия Саккери были целиком направлены на то, чтобы отвергнуть гипотезу острого угла. Оставалось сделать лишь один шаг, чтобы доказать пятый постулат Евклида, обнаружив противоречие в гипотезе острого угла. Исходя из гипотезы острого угла, Саккери доказал ряд любопытных теорем. Он полагал, что вот-вот обнаружится противоречие. Но его все не было и быть не могло. В конце концов установив, что геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, есть кривая, Саккери завершил свое интересное исследование. Он посчитал, что гипотеза острого угла противоречит природе прямой линии.

Еще больше приблизился к решению проблемы пятого постулата немецкий математик (француз по происхождению) Иоганн Генрих Ламберт (1728 — 1777). Кстати, Ламберт был не только математиком, но и физиком, философом и астрономом.

Предпосылки, из которых исходил Ламберт, были аналогичны исходным позициям Саккери. Он выполнил следующее построение. Из концов отрезка АВ восставил два перпендикуляра, являющиеся равными отрезками АA1 и BB1. Затем из конца отрезка АA1 Ламберт восставил еще один перпендикуляр в точке A1. Получился, таким образом, четырехугольник с тремя прямыми углами (рис. 18). Подобно Саккери, Ламберт выдвинул три гипотезы относительно четвертого угла: гипотезу прямого, тупого, острого угла. Затем он доказал, что гипотеза прямого угла эквивалентна пятому постулату, а гипотеза тупого угла приводит к противоречию. Далее Ламберт попытался развить систему, вытекающую из гипотезы острого угла. Однако ему не удалось обнаружить предполагаемого противоречия. У Ламберта возникла мысль, что, может быть, доказать постулат невозможно.

Слава решения знаменитой проблемы пятого постулата принадлежит великому русскому математику Николаю Ивановичу Лобачевскому (1792 — 1856). В 1826 г. впервые в истории геометрии он высказал мысль о том, что пятый постулат Евклида не зависит от остальных аксиом геометрии. Это сообщение оказало поистине революционное воздействие на дальнейшее развитие науки. Не случайно впоследствии, когда идеи русского ученого получили всеобщее признание, математики стали называть Лобачевского Коперником геометрии.

Наша дальнейшая задача будет состоять в том, чтобы, с одной стороны, разобраться в проблеме пятого постулата Евклида, а с другой — уяснить значение открытия Лобачевским новой геометрии.

 

Комментарии (8)

Валерий (не проверено) - Пт, 21/08/2020 - 11:17

Для тех, кто в танке:

http://web.snauka.ru/issues/2019/07/90006
http://kunstkam.net/?p=3942

Всё прекрасно доказывается. Лобачевский — недоучка. Вместо того, чтобы немного подумать, бросил доказательство и выдумал свою корявую "геометрию". Но удивляют скорее те, кто поднял его на щит и распиарил.

admin - Пт, 21/08/2020 - 12:49

Геометрия Лобачевского --- хорошо обснованная теория, обвинять Лобачевского в невежестве неэтично.

Ваши ссылки ничего не доказывают, скорее всего, это "творчество фриков".

Я не специалист, и поэтому не собираюсь искать ошибки в предложенных Вами текстах.

Однако общеизвестно, что невозможность вывода пятого постулата из аксиом абсолютной геометрии строго доказана и не вызывает ни малейших сомнений. Поэтому все альтернативные точки зрения следует считать ошибочными.

 

Странник (не проверено) - Пт, 21/08/2020 - 22:41

Вы не специалист, выводы не проверили, но утверждаете, что авторы выводов фрики, и сами выводы неверные. Я правильно понял Ваш ответ?

Странник (не проверено) - Пт, 21/08/2020 - 22:57

ЗЫ. Мои ссылки как раз доказывают, доказывают логикой самой геометрии. А вот "доказательства" путём употребления слов "общеизвестно", "не вызывает ни малейших сомнений" — не имеют никакого веса в научном методе. Проверьте выводы, по второй ссылке это сделать нетрудно даже не специалисту.

admin - Сб, 22/08/2020 - 08:25

Я не собираюсь тратить своё время на чтение занимательных тексов фриков.

Советую Вам прочитать книгу Н. В. Ефимова "Высшая геометрия".

Эта книга --- классический учебник, выдержавший по меньшей мере семь изданий, отличается методически продуманным и умело распределенным материалом и до сих пор остается современным и своевременным.

Тогда Вам всё станет ясно.

То, что "общеизвестно", описано в этой книге. А именно, есть абсолютная геометрия, т. е. геометрия без пятого постулата. Её можно дополнить или постулатом Евклида, или постулатом Лобачевского. В итоге получаются соответствующие геометрии.

Странник (не проверено) - Сб, 22/08/2020 - 11:41

Я прочитал достаточно много текстов как по истории доказательства V постулата, так и по истории математики и науки в целом. Знаю о многих нерешённых проблемах, "заметённых под ковёр" при всеобщем молчаливом согласии. Нет смысла читать ещё одну книжку автора, который не видел ни одного доказательства V постулата.

V постулат нельзя просто выкинуть из геометрии как аксиому, поскольку он надёжно выводится как теорема из аксиом (например, из аксиомы о двух точках и прямой), так и из теорем (например, из теоремы о единственности перпендикуляра). Отрицая V постулат, вы отрицаете и эти аксиомы и теоремы. Никакой "независимости" тут не наблюдается. Разрушив основания евклидовой планиметрии, вы также уничтожаете основы многих важных разделов математики, таких как аналитическая геометрия, где в роли координатных осей выступают прямые строго в евклидовом смысле, а отнюдь не "прямые" Лобачевского.

Впрочем, я зря трачу время на то, чтобы убедить Вас — Вы ничего не станете проверять, продолжая свято верить в книжки сертифицированных авторитетов.

admin - Вс, 23/08/2020 - 08:04

И не потому, что я косный и ретроград.

У меня не лишних жизней, чтобы всем этом заниматься професионально. Есть более важные дела.

Моя окнчательная позиция такова:

--- очень маловероятно, что Вы правы;

--- но всякое бывает ...

 

 

Странник (не проверено) - Пнд, 24/08/2020 - 00:34

Моя цель здесь — показать потенциальным читателям, что не всё, о чём их пытаются учить — истина. Пусть пройдут по ссылкам и попытаются самостоятельно пройти все этапы доказательств. Этого более чем достаточно.

А Вам — спасибо за то, что опубликовали мои комментарии, это Вам безусловно плюс в карму :)

Добавить комментарий

Plain text

  • HTML-теги не обрабатываются и показываются как обычный текст
  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.
CAPTCHA
Этот вопрос задается для того, чтобы выяснить, являетесь ли Вы человеком или представляете из себя автоматическую спам-рассылку.