Вы здесь

О звёздных величинах. II

 

Назад      Вперёд

Таблица операций.

Сначала рассмотрим совместно арифметическую и геометрическую прогрессию:

 

Арифметическая прогрессия

1∙ d

2∙ d

3∙ d

4∙ d

Геометрическая прогрессия

q1

q2

q3

q4

 

 

Здесь d — шаг (разность) арифметической прогрессии, q — знаменатель геометрической прогрессии.

Очевидно, что:

(1∙ d)+(2∙ d)= (1+2) ∙ d = 3∙ d,

q1   ∙  q2 =   q1+2 = q3. И т.п.

Первое равенство выражает не что иное, как дистрибутивность умножения чисел, второе равенство, — основное свойство показательной функции. Поэтому равенства справедливы для любых действительных чисел α и β:

(α ∙ d)+( β ∙ d)= (α + β) ∙ d,

qα   ∙  qβ =   qα + β .

Отсюда следует утверждение: сложению на уровне арифметической прогрессии соответствует умножение на уровне геометрической прогрессии.

Теперь обратимся к закону Вебера–Фехнера.

Что имеет отношение к арифметической прогрессии? — звёздные величины, выражающие интенсивность ощущений.

Что имеет отношение к геометрической прогрессии? — блеск небесного объекта.

Отсюда получаем простое правило: если звёздные величины складываются, то соответствующие им значения блеска перемножаются.

Из этого правила получаются производные, дополнительные  правила. Как известно,

— вычитание обратно сложению, а деление обратно умножению, поэтому если звёздные величины вычитаются, то соответствующие им значения блеска делятся,

— умножение является многократным сложением, а возведение в степень многократным умножением, поэтому, если звёздная величина умножается на какое-то число n, то соответствующее им значение блеска возводится в n-ую степень.

— деление обратно умножению, а извлечение корня обратно возведению в степень, поэтому если звёздная величина делится на какое-то число n, то из соответствующего ей значения блеска извлекается корень n–ой степени.

И ещё.  В дополнение к этим правилам следует помнить, что, согласно Гиппарху, чем ярче звезда, тем меньше её звёздная величина.

Все эти правила полезно представить в таблице, которую будем называть таблицей операций:


Звездная величина, обозначение m

Блеск (отношение блесков), обозначение I

m1+ m2

Сложение

I1 ∙ I2

Умножение

m1 – m2

Вычитание

I1 : I2

Деление

m ∙ n

Умножение

In

Возведение в степень

m/n

Деление

n√I

Извлечение корня

Чем ярче небесный объект, тем меньше его звёздная величина.

 

 

Таблица значений.

Пока нам известно лишь предложение Погсона:

5 зв. величин ↔ 100.

Определим, какому блеску (отношению блесков) соответствует одна звёздная величина. Обозначим это число через X, тогда

1+1+1+1+1= 5 ↔ 100=X∙ X∙ X∙ X∙ X = X5.

Отсюда Х равно корню пятой степени из 100, т.е. 2,512…

Продолжаем:

1+1=2 ↔ 2,512 ∙ 2,512=6,310≈6,3;

1:10=0,1↔корень десятой степени из 2,512, что примерно равно 1,0965≈1,1.

Наши вычисления приближённые, поэтому в дальнейшем примем Х≈2,5.

5–1=4↔100: 2,5= 40;

4–1=3↔40: 2,5= 16;

3:2=1,5↔√16= 4;

1,5:2=0,75↔√4=2;

5:2= 2,5 ↔ √100= 10;

0,1+0,1= 0,2↔1,1∙ 1,1≈1,2

И т.д.

Отсюда имеем таблицу значений:


Звездная величина

Блеск (отношение блесков)

0,1

1,1

0,2

1,2

0,5

1,6

0,75

2

1

2,5

1.5

4

2

6,3

2,5

10

3

16

4

40

5

100

10

10.000

 

Здесь красным цветом помечены соответствия, которые нужно запомнить. Всё остальное при необходимости можно легко восстановить, применив таблицу операций.

В следующем сообщении будут приведены примеры устного решения задач со звёздными величинами с применением таблицы операций и таблицы значений.

 

Назад      Вперёд

© А. А. Дмитриевский