Теория сжимаемой жидкости

Последние пять лет жизни этого удивительного человека были полны буквально самозабвенного труда в новых обла­стях и с новыми головокружительными успехами».

Эти слова А. Ф. Гаврилова прекрасно характеризуют тот период жизни Фридмана, который можно назвать полной творческой зрелостью.

Снова возникает вопрос: откуда бралось у Фридмана вре­мя? Ведь, кроме научной, была напряженная организацион­ная и административная деятельность. Были командировки на заграничные конференции, выступления. Были неотложные обязанности директора обсерватории, большая педагогиче­ская работа.

Ответ на этот вопрос, может быть, содержится в лаконич­ной и эмоциональной фразе Фридмана, которую нельзя чи­тать без волнения:

«Нет, я невежда, я ничего не знаю, надо еще меньше спать, ничем посторонним не заниматься, так как вся эта так называемая «жизнь» — сплошная потеря времени».

Говоря о таких ученых, как Фридман, часто употребляют выражение «он совершил научный подвиг». «Подвиг» — это почти «подвижничество», а последнее содержит в себе что-то жертвенное. Невольно рисуется взору уединившийся в каби­нет ученый, старательно избегающий всех соблазнов и отвле­кающих занятий и, побеждая самого себя, двигающий науку во имя блага людей. Фридман был вовсе не таким. Он любил жизнь во всех проявлениях и не ограничивал своих интересов одной лишь наукой. Как иногда говорят, он был жадным к жизни. И именно поэтому он был жадным к научному труду_, который даёт ученому несравненную радость творчества.

Жаль, что наши популяризаторы и авторы биографий уче­ных мало рассказывают о том, что для настоящих людей на­уки творчество было совершенно естественным состоянием, величайшей и непреоборимой потребностью натуры. Помните, как Фридману в школьные годы запрещали заниматься мате­матикой в тех случаях, когда нужно было наказать его? Врож­денную тягу к научным занятиям Фридман развил до такой степени, что она стала определяющей чертой его характера. Работая, он испытывал счастье.

Мы уже знаем, что Фридман сделал большой вклад в на­учную метеорологию. Для этого ему понадобилось приложить огромный труд, включавший в себя организацию наблюдений и их обработки и создание теоретических основ прогнозиро­вания. Однако мысль ученого пошла дальше практических задач. За сложными уравнениями, определяющими передви­жение воздушных масс, он увидел черты универсальности и общности и, выделив их в чистом виде, создал строгую и замкнутую в конечном числе непротиворечивых теорем нау­ку — теорию движения сжимаемой жидкости произвольного типа. Этот важнейший труд он начал еще в то время, когда работал в авиации. Вот что говорит в этой связи о Фридмане Н. М. Гюнтер:

«Во время войны им выпущено несколько заметок и нача­та диссертация, за которую потомство справедливо причислит его к числу создателей теории сжимаемых жидкостей.

Эта работа вышла в свет только в 1922 году, но она по­священа вопросу, соприкасающемуся с динамической метеоро­логией, и при непрерывном стремлении А. А. разобраться в каждом вопросе до полного его выяснения эта работа нача­лась с поступления его в Павловскую обсерваторию...

По существу эта вся его работа чисто математическая. Многое практически важное получено потому, что, начав с самого начала учиться отбрасывать, он этому действительно научился и делал с толком».

В чем же состояла теоретическая проблема, за решение которой взялся Фридман?

Еще в семнадцатом веке Роберт Бойль заложил основы теории идеального газа. Он установил, что такой газ облада­ет свойством увеличивать свою плотность прямо пропорцио­нально оказываемому на него давлению. Впоследствии было обнаружено, что при неизменном объеме давление в газе пропорционально температуре. Разумеется, эксперимент да­вал лишь приблизительное совпадение с этими законами, и ученым пришлось сформулировать упомянутые четкие прави­ла, пользуясь искусством отбрасывать небольшие искажающие факторы.

Через двести лет после Бойля великий Больцман дал тео­ретическое объяснение газовых законов, исходя из кинетиче­ской модели веществ. Идеальный газ, по Больцману, — это совокупность абсолютно упругих точечных молекул, взаимо­действующих между собой по правилам «столкновения биллиардных шаров». Статистическая теория Больцмана, разраба­тывавшаяся также Гиббсом и Максвеллом, оказала огромное влияние на развитие всей физики. Пользуясь методами кине­тической теории газов, удалось улучшить законы Бойля и Гей-Люссака и найти уравнение так называемого «реального газа» — уравнение Ван дер-Ваальса.

Но «реальный» газ оставался по существу весьма рафини­рованной идеализацией, лишь чуть приближенной к фактиче­ски существующему в природе газу по сравнению с «идеаль­ным» газом Бойля.

Усиленно развивалась и теория идеальной жидкости. В применении к жидкости термин «идеальная» означает несжи­маемая и лишенная внутреннего трения, невязкая. Уравнения математической физики позволяли описать основные свойст­ва такой жидкости. Еще в XIX веке возник вопрос о разработ­ке теории сжимаемой жидкости, и были исследованы некото­рые частные случаи.

Фридман поставил наиболее широкую проблему: он стал исследовать движения сжимаемой жидкости общего типа. В такой постановке задача охватывала, конечно, и любой газ. Более того, если говорить о практических истоках теории Фридмана, то они были связаны в основном именно с пере­движением атмосферных масс. Поэтому под условным наименованием «жидкость» нужно понимать в первую очередь таз. Такое кажущееся недоразумение легко объясняется тем, что Фридман исследовал движение среды, а весь математиче­ский аппарат соответствующего назначения был развит до Фридмана почти исключительно для жидкостей. Этот аппарат составлял основу науки, которую Фридман называл «класси­ческой гидромеханикой». Основополагающую роль в гидроме­ханике вихревого движения сыграли, работы Гельмгольца.

В классической гидромеханике рассматривалась сначала жидкость несжимаемая. Позднее было сделано важное обобщение и теория распространилась на такую жидкость, которая: способна сжиматься, но плотность которой зависит только от давления. Например, такой «жидкостью» является газ, под­чиняющийся закону Бойля – Мариотта: «произведение объе­ма, занимаемого газом, на давление есть величина постоян­ная». Как известно, этот закон представляет собой частное следствие уравнения Клапейрона – Менделеева: «произведе­ние объема на давление пропорционально температуре». Дру­гими словами, закон Бойля – Мариотта относится к газу, находящемуся при постоянной температуре. Такой газ входил в предмет классической гидродинамики.

Теорией рассматривался также и другой частный вариант: газ, подчиненный законам адиабатического процесса. В этом случае принимается, что тепло не подводится к газу извне и не уводится из газа никаким способом. Приближенно адиаба­тическими можно считать все быстрые процессы — теплообмен в них не успевает сказаться существенным образом.

При адиабатическом сжатии газ нагревается. Это проис­ходит, скажем, в цилиндрах дизельного мотора. При адиаба­тическом расширении газ охлаждается. На таком принципе была построена машина Линде для сжижения газов. Но на­сколько газ, лишенный теплообмена, меняет свою температу­ру при изменении давления, настолько он отклоняется от за­кона Бойля – Мариотта. Ведь в этих случаях начинает сказы­ваться правая часть уравнения Клапейрона – Менделеева, в которой стоит температура.

Адиабатический процесс сложнее изотермического (проте­кающего при постоянной температуре). Однако в нем дав­ление есть функция одной лишь плотности. Это значит, что плотность, в свою очередь, есть функция одного лишь давле­ния. Такой парадоксальный на первый взгляд факт объясня­ется тем, что температура, влияющая на давление, меняется в адиабате с плотностью по известному и раз навсегда задан­ному закону. Таким образом, из уравнения адиабаты можно исключить температуру как зависимую величину и оставить чистую связь между плотностью и давлением, которая уже, разумеется, будет не такой, как при изотерме.

Охватывают ли изотермический и адиабатический процес­сы все или хотя бы главные явления, происходящие с газами в природе? Далеко не охватывают. Фридман как метеоролог понимал это особенно ясно. Он писал:

«Стремление применить к атмосферным движениям пред­ставление об адиабатических движениях опровергается фак­том ежедневного притока тепла от Солнца в атмосферу и еже­нощной потерей тепла лучеиспусканием в мировое простран­ство».

Это сказано лаконично, но убедительно. Сотни лет ученые изучали газ в баллоне, а жидкость — в трубке. Лабораторным условиям были подчинены небольшие порции вещества, со­ставлявшие миллиардную от миллиардной части всего газа и всей жидкости, разлитых по Земле. Эти порции были подвер­жены действию тщательно выделенных факторов. Эксперимен­таторы скрупулезно следили за чистотой опыта, понимая под чистотой наибольшее удаление от природных условий.

Весь же остальной газ и вся остальная жидкость — девяно­сто девять процентов и еще пятнадцать девяток после запя­той — испытывали совсем другие воздействия и вели себя сов­сем по-другому. И хоть «чистые» опыты были необходимым первым шагом, настало, наконец, время сделать второй шаг, изучить поведение сплошных сред в обстановке, близкой к естественной. Фридман хорошо обосновал необходимость та­кого обобщения своей фразой об очевидном теплообмене в атмосфере.

Теория универсальной жидкости сразу же натолкнулась на огромные математические трудности. Внешний приток тепла в элемент жидкости резко осложнил дело. Появился но­вый параметр, независимый от остальных. Увеличилось коли­чество неизвестных и, соответственно, количество уравнений в без того громоздкой системе дифференциальных уравнений в частных производных.

После напряженных раздумий Фридман нащупал путь к решению проблемы. Идея пришла почти внезапно. Во всяком случае, когда писалась диссертация (летом 1920 года), все уже в голове Фридмана стояло на своих местах. Иначе он не мог бы писать шестнадцать страниц в день. Такой темп поня­тен только при одном предположении: написание диссерта­ции было фактически лишь оформлением «готовых мыслей».

Сам Фридман говорил, что его теория родилась из внима­тельного изучения классических работ Гельмгольца. Послед­ние, в свою очередь, являлись применением методов матема­тической физики, в частности теоремы Остроградского, к за­даче о движении идеализированной жидкости. Таким образом, Фридман взял на себя труд продвинуть вперед одно из ос­новных направлений науки, лежащей на границе между математикой и физикой, ближе к математике.

Работы Гельмгольца, с математической точки зрения, ос­нованы на следующем. Жидкость характеризуется только лишь давлением (не забудьте, что плотность есть однознач­ная функция давления) и скоростью каждого своего элемен­та. Если принять во внимание, что скорость есть вектор, т. е. имеет три составляющих по осям координат, то можно ска­зать так: состояние элемента жидкости описывается четырьмя переменными — тремя компонентами скорости и давлением.

Гельмгольц нашел  способы  разрешить  математические трудности в своей упрощенной постановке вопроса. Внима­тельное изучение этих способов натолкнуло Фридмана на плодотворную мысль.

В том случае, когда жидкость является произвольной, т. е. когда плотность уже не есть функция одного давления, а при­сутствует теплообмен с внешней средой, к четырем упомянутым уравнениям нужно добавить пятое — уравнение притока энергии. Соответственно, количество неизвестных возрастает до пяти, так как плотность становится независимой от давле­ния самостоятельной переменной.

Фридман разбил пять независимых параметров жидкости на две группы: кинематические, к которым он отнес составля­ющие скоростей; и динамические — давление и плотность. Ис­пользуя четыре уравнения гидромеханики, он исключил из системы динамические переменные и получил некоторые соот­ношения между компонентами скоростей. Этим соотношениям он дал красивую физическую трактовку, назвав их «условия­ми динамической возможности данного движения сжимаемой жидкости».

На самом деле, хотя давление и плотность выпали из на­половину решенной системы, они как бы продолжают незримо присутствовать в получающихся после исключения уравне­ниях. Связь между компонентами скоростей не получилась бы именно такой, если бы не было именно таких меняющихся во времени давления и плотности. И, несмотря на то, что в результате исключения динамические переменные выпали из формул, мы можем сказать, что соотношения между кинематическими элементами получились такими-то лишь благодаря возможности подобрать (восстановить) соответствующие дав­ление и плотность. Важно, что между компонентами скорости, могут возникать после исключения других переменных далеко не всякие соотношения: если, например, написать соотноше­ния такого типа наобум, то наверняка нельзя будет подобрать никакого давления и никакой плотности с тем, чтобы первона­чальная система пяти уравнений удовлетворялась. Как раз поэтому Фридман и назвал связь между кинематическими эле­ментами, получившуюся в результате реального процесса исключения, «условиями возможности движения». Следующим шагом было чисто математическое исследование таких условий, после чего уже можно было говорить о данном соотноше­нии между компонентами скоростей — может оно описывать реальный поток жидкости или нет.

Правда, «условия возможности движения» Фридмана не охватывают абсолютно всех случаев и в этом смысле содер­жат в себе некоторое ограничение общности. Однако боль­шинство практически интересных движений описывается «ус­ловиями». Урезывать общность Фридману пришлось из-за необычайной трудности задачи, но выполнил он это урезыва­ние со своим обычным чувством реализма. Разумное упроще­ние задачи — вот как можно перевести на нематематический язык любимую поговорку Фридмана «нельзя ли что-нибудь откинуть?». После получения решения упрощенной задачи он приступал ко второй стадии исследования — к всестороннему анализу частных случаев.

Применив свой метод к проблеме самой общей сжижаемой жидкости, Фридман показал, что здесь теоремы Гельмгольца уже неприменимы. Это как раз и является существеннейшим признаком жидкости, у которой плотность не есть функция только давления. Поэтому жидкость, удовлетворяющую пред­положениям классической гидродинамики, можно назвать «гельмгольцевой» (ибо для нее, и только для нее, справедливы теоремы Гельмгольца). Работа Фридмана состояла в иссле­довании негельмгольцевой жидкости и представляла собой важнейший шаг вперед на пути к созданию теории сплошных сред любого типа.

Является ли фридмановская жидкость реальной? Разумеет­ся, нет. Идеализация присутствует и в теории Фридмана, рас­пространяясь на вязкие свойства, молекулярную структуру и т. д. Но заслуга Фридмана состоит именно в том, что он рас­смотрел наиболее определяющие параметры и создал «мате­матическую» жидкость, максимально приближающуюся по свойствам к той, которая существует в природе.

Метод «условий динамической возможности движения» привел к интересным и практически важным результатам. Ока­залось, что в сжимаемой жидкости общего типа вихревые трубки не остаются физически одними и теми же, т. е. вместо одних частиц жидкости в них вливаются другие. Кроме того, напряжение трубок меняется во времени, а это значит, что трубки непрерывно разрушаются, а вместо них образуются но­вые.

Нетрудно догадаться, что все сказанное имеет непосред­ственное отношение к теории циклонов. Таким образом, круг замыкается — теория, начавшая свое развитие от практических задач и затем ушедшая в область математической абстракции, вновь вернулась к практике. Набрав силы в результате чисто логического усовершенствования, теория стала достаточно широкой, чтобы снова обратиться на решение множества кон­кретных проблем. А такая конкретная и важная для погоды вещь, как циклон, будто бы специально предназначена для применения теории фридмановской жидкости. Ведь циклон — вихревое движение сжимаемой «жидкости» при наличии теп­лообмена.

Фридман рассмотрел перемещение циклона с учетом дей­ствия силы тяжести и отклоняющей силы вращения Земли. Упрощения, которые ученый вынужден был принять, заключа­лись в следующем: угловая скорость вращения не меняется с высотой, и вертикальная скорость равна нулю. Условия дина­мической возможности движения показали, что при этом мо­гут возникать либо весьма низкие циклоны, либо же стационарные циклоны с неподвижным динамическим центром, обе­гаемым центром вращения с постоянной скоростью.

Ценность общей теории Фридмана заключалась не только в ее практических приложениях, но и в том, что в ней содер­жались ключи к дальнейшему совершенствованию метеороло­гии, к созданию теории с меньшим количеством упрощений.

Для молодой советской науки важно было быстро получить квалифицированные кадры ученых. Фридман создавал эти кадры чрезвычайно умело.

Ученик Фридмана И. А. Кибель, ныне член-корреспондент Академии наук СССР, считает, что большое счастье советской метеорологии в том, что во главе школы стоял такой выдаю­щийся учёный. Это сразу же определило высокий уровень всех работ. Стремление к общности и математической безукориз­ненности Фридман передал своим коллегам и ученикам. Про­должая лучшие традиции русской математической мысли, Фридман искал наиболее точное и, вместе с тем, универсаль­ное решение проблем. До трудов Фридмана и его школы ме­теорологи делали упрощения, слишком далеко отходящие от реальности. Рассматривалась либо адиабатическая жидкость (или даже изотермическая), либо жидкость с притоком тепла, но неподвижная. Из таких частных решений, конечно, полу­чали иногда практически ценные результаты, но науки о дви­жущейся жидкости общего типа, по сути, не было.

Не удивительно поэтому, что когда весной 1924 года Фрид­ман был командирован в Голландию на Первый международ­ный конгресс по прикладной механике, он встретился там с исключительным интересом западных ученых к работам совет­ской школы метеорологии. Вот что он писал Стеклову из Берлина вскоре после окончания конгресса:

«…к русским было прекрасное отношение; в частности, ме­ня включили в число членов комитета по созыву следующего конгресса. Особым успехом отличался доклад А. Ф. Иоффе. Работа Н. М. Гюнтера очень заинтересовала Лихтенштейна... Работами моими и моих сотрудников заинтересовались Блюменталь, Карман и Леви-Чивита».

Под непосредственным влиянием Фридмана сформирова­лись такие замечательные наши ученые, как Н. Е. Кочин, Г. А. Гринберг, И. А. Кибель, Б. И. Извеков, Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье, П. Я. Полубаринова–Кочина и многие другие. Если учесть, что почти все из них сами стали впослед­ствии заниматься большой педагогической деятельностью, то становится особенно ясной исключительная роль Фридмана в становлении советской науки.

Одним из главных продолжателей исследований Фридмана был Н. Е. Кочин. Развивая фридмановские работы о раз­рывах непрерывности в атмосфере, он получил ряд ценных для практической метеорологии результатов.

Фридман обладал всеми качествами, которые нужны основателю, научной школы. Он умел видеть специфику способ­ностей людей. Когда, например, он занялся теорией усреднен­ных данных наблюдений, ему показалось ценным участие в этой работе статистика Келлера, хотя последний не знал метеорологии и не испытывал особого желания ею заниматься. Фридман уговорил Келлера перейти к новой тематике, и вско­ре они совместно получили замечательные результаты, кото­рые по своему научному уровню были непревзойденными до работы А. Я. Хинчина и А. Н. Колмогорова, удостоенной Го­сударственной премии.

Фридман умел не только привлекать нужных людей, но и спрашивать с людей, быть требовательным к подчиненным и сотрудникам. Он имел право на такую требовательность, ибо значительно строже относился к самому себе. Этот энтузиаст науки готов был в случае надобности рисковать своей жизнью ради проведения исследования. Об этом лучше всего свиде­тельствует рекордный полет на аэростате, который Фридман предпринял с научной целью незадолго до своей смерти.