§61

1.

Рассмотрим еще один важный факт геометрии Лобачевского.      

Пусть прямые EF и CD, проведенные через точку A, параллельны прямой PQ, р — расстояние от точки А до прямой PQ. Обозначим через α величину угла DAB(рис. 41).

Острый угол α, образованный параллельной CD и перпендикуляром AB, называется углом параллельности в точке A.

Задача состоит теперь в том, чтобы изучить свойства угла параллельности.

2.

Возникает вопрос: изменится ли величина угла параллельности с увеличением длины отрезка р?

Пусть α₁ и α₂ — углы параллельности в точках A₁ и A₂; A₁N и A₂M — прямые, параллельные прямой PQ; A₁B = p₁, A₂B = p₂ (рис. 42). Оказывается, что α₂<α₁, т. е. с увеличением длины отрезка p величина угла параллельности уменьшается.

Обозначим угол A₂A₁N буквой β. Тогда α + β = 2d, так как эти углы смежные.

По условию прямые A₁N и A₂M параллельны прямой PQ. В геометрии Лобачевского можно доказать теорему:

Если две прямые параллельны некоторой прямой, то они параллельны между собой.

Следовательно, прямая параллельна A₂M прямойA₁N.

Прочитайте еще раз §60(4). Обратите особое внимание на то, что сумма внутренних односторонних углов β и α₂, расположенных от секущей прямой в сторону параллельности, меньше 2d (см. рис. 42). Попытайтесь теперь доказать, что α₂<α₁, затем см. указание 114.

3.

Итак, доказали, что с возрастанием p угол параллельности убывает. Может быть доказано, что каждому значению р соответствует единственное значение α. Таким образом, α есть функция от р. α = П(р). Эта функция получила название функции Лобачевского. Ее область определения 0<р<+∞, а множество значений 0< α<π/2.

4.

Может быть также установлено, что функция Лобачевского обладает следующим замечательным свойством:

Это означает, что для сравнительно «небольших» расстояний геометрия Лобачевского мало отличается от геометрии Евклида. Когда начинаем рассматривать геометрию Лобачевского, то она поражает прежде всего своей необычностью и парадоксальностью. В итоге же оказывается, что две столь различные геометрии связаны диалектическим единством. Геометрия Евклида является предельным случаем геометрии Лобачевского.

5.

Лобачевский нашел для функции α = П(р) следующее уравнение:

где k — длина некоторого постоянного отрезка, названного впоследствии радиусом кривизны пространства, а e — так называемое число Непера, или основание натуральных логарифмов (e = 2,71828... — иррациональное число). Из этого уравнения следует, что

Отклонения от евклидовой геометрии даже в пространствах, сопоставимых с поперечником земной орбиты, ничтожны. Таким образом, в технике, инженерных расчетах можно было бы использовать формулы неевклидовой геометрии Лобачевского. Но это нецелесообразно, так как геометрия Евклида по своей структуре существенно проще.