Прежде чем двигаться дальше, попытаемся усвоить одно фундаментальное понятие, широко используемое в различных областях знаний. Речь идет о понятии модели. Это понятие основывается на сходстве двух объектов произвольной природы. При этом слово «сходство» понимается в самом широком смысле. Если такое сходство, чисто внешнее или в области внутренней структуры объектов, имеет место, то мы говорим, что объекты связаны отношением оригинала и модели. Когда речь идет о сходстве во внутренней структуре оригинала и модели, то внешне они могут быть совершенно не похожи.
В некоторых случаях, например, целесообразно в соответствующем масштабе «изобразить» молекулу, т. е. нарисовать ее на бумаге, изготовить ее произвольный каркас и т. д. Модель молекулы показывает взаимное расположение атомных ядер и характеризует движущиеся около этих ядер электроны. Модель молекулы позволяет предсказать ряд явлений, не производя химических или физических опытов.
Моделирование широко применяется на производстве. Производственная модель обычно представляет собой математическое описание взаимосвязей процесса производства, позволяющее не только изучать закономерности, но и делать прогнозы на будущее.
Возникает естественный вопрос: используется ли построение моделей в геометрии? Оказывается, моделирование играет огромную роль как в геометрии, так и в математике вообще.
Точка, прямая и плоскость являются в системе Гильберта, как мы уже знаем, основными понятиями и, следовательно, не определяются. Точка, прямая, плоскость — это понятия абстрактные, отвлеченные. В одном случае мы можем понимать под прямой натянутую нить, в другом — луч света, а в третьем прямой может являться карниз здания. Но, применяя логический аппарат геометрии, мы всякий раз отвлекаемся от конкретной природы используемых понятий.
Таким образом, поскольку основные понятия абстрактны, можно вкладывать в них различное конкретное содержание. Возникает мысль: не могут ли основные понятия (в системе Гильберта), т. е. точка, прямая, плоскость, быть объектами совершенно другой природы, отличной от привычной «практической» точки зрения? Это чрезвычайно важная идея, и надо попытаться хорошо уяснить ее себе на ряде конкретных примеров.
Условимся понимать под точкой грань (!) треугольной пирамиды, под прямой — ребро пирамиды, а под плоскостью — вершину пирамиды (!). На первый взгляд все это представляется крайне необычным и может даже показаться, что такой подход к основным понятиям — пустая игра слов.
Однако в действительности этот путь приведет нас к очень интересным результатам.
Первая аксиома I группы аксиом Гильберта, как мы уже видели, читается так: «Каковы бы ни были две точки А и В, существует прямая, проходящая через каждую из точек А и В».
Попробуем заменить в этой формулировке слово «точка» словами «грань пирамиды», слово «прямая» словами «ребро пирамиды».
Тогда аксиома будет читаться совершенно по-другому. Запишите новую формулировку первой аксиомы, а затем проверьте себя по указанию 21.
Добавить комментарий