Историческая задача, связанная со строгим, аксиоматическим обоснованием геометрии, была впервые поставлена на рубеже XIX и XX столетий. При этом, как часто бывало в науке, решение проблемы было предложено независимо друг от друга рядом ученых, из числа которых следует особо выделить немецкого математика профессора Геттингенского университета Давида Гильберта (1862—1943) и советского математика профессора Московского университета Вениамина Федоровича Кагана (1869—1953).

Рассмотрим теперь более подробно систему аксиом Гильберта. Разобранный им список аксиом состоит из 5 групп, охватывающих 20 аксиом. Гильберт писал в 1899 г.: «Геометрия, так же как и арифметика, требует для своего построения только немногих простых основных положений. Эти основные положения называются аксиомами геометрии.

Установление аксиом геометрии и исследование их взаимоотношений — это задача, которая со времен Евклида явилась темой многочисленных прекрасных произведений математической литературы. Задача эта сводится к логическому анализу нашего пространственного представления.    

Настоящее исследование представляет собой новую попытку установить для геометрии полную и возможно более простую систему аксиом и вывести из этих аксиом важнейшие геометрические теоремы...» (Гильберт Д. Основания геометрии. — М.; Л., 1948).

Приведем в качестве примера аксиомы I группы (при этом следует иметь в виду, что в системе аксиом Гильберта основными понятиями являются точка, прямая и плоскость).

1. Каковы бы ни были две точки А и В, существует прямая, проходящая через каждую из точек А и В.

2. Каковы бы ни были две различные точки А и В, существует не более одной прямой, которая проходит через каждую из точек А и В.

3. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

Последняя аксиома выглядит несколько необычной. Ведь мы привыкли считать очевидным, что на всякой прямой имеется бесконечное множество точек. Однако предложение «Прямая состоит из бесконечного множества точек» в системе Гильберта строго доказывается. Для этого, кстати, необходимы уже аксиомы II группы. А для того чтобы доказать, что прямая полностью «заполнена» точками (каждому действительному числу соответствует точка на прямой, и наоборот), необходимы еще и аксиомы IV группы.

4. Каковы бы ни были три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, существует плоскость α, проходящая через каждую из трех точек А, В, С. На каждой плоскости лежит хотя бы одна точка (!).

5. Каковы бы ни были три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, существует не более одной плоскости, которая проходит через каждую из трех точек А, В, С.

6. Если две точки А и В прямой а лежат на плоскости α, то каждая точка прямой а лежит на плоскости α.

7. Если две плоскости α и β имеют общую точку А, то они имеют еще по крайней мере одну общую точку В.

8. Существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

Если рассматривать I группу аксиом как самостоятельную геометрическую систему, то легко видеть, что она очень бедна объектами. Так, например, четвертая аксиома гарантирует нам существование хотя бы одной точки. Опираясь на аксиомы I группы, можно доказать, что на каждой плоскости существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

 

Добавить комментарий

Plain text

  • HTML-теги не обрабатываются и показываются как обычный текст
  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.
CAPTCHA
Этот вопрос задается для того, чтобы выяснить, являетесь ли Вы человеком или представляете из себя автоматическую спам-рассылку.