Приведённые ниже текст является частью книги «Первый шаг в квантовую реальность».
Чтобы скачать полный текст, пройдите по ссылке.
5. Условие одновременной измеримости двух физических величин.
Нам известно, что физическая величина изображается некоторым эрмитовым оператором, и что она может принимать с некоторыми вероятностями те или иные значения.
И лишь в тех состояниях, которые описываются собственными векторами оператора физической величины, физическая величина принимает некоторые вполне определённые значения.
В связи с этим возникает вопрос, при каком условии две физические величины принимают определённые значения, т.е. одновременно измеримы?
Докажем утверждение:
Две физические величины могут быть одновременно измеримы тогда и только тогда, когда операторы этих физических величин коммутируют.
Пусть величины 
и 
одновременно измеримы, т.е. существует некоторое состояние |х›, в котором эти величины имеют некоторые определённые значения А и В соответственно. Тогда, принимая во внимание линейность операторов, получаем:
|х› = В|х› = В|х› = ВА|х›= АВ|х›= А|х› = А|х› =|х›.
Отсюда
Наоборот, пусть
.
Запишем это равенство, например, в – представлении, где оператор диагонален, тогда
Равенство выполняется автоматически, если А1 = А2 . При А1 ≠ А2 необходимо дополнительно потребовать, чтобы b12 = b21 = 0.
Т.е. матрица оператора должна быть диагональной одновременно с матрицей оператора . И тогда собственные функции оператора совпадут с собственными функциями оператора . В состояниях, описываемых этими собственными функциями, обе физические величины имеют некоторые определённые значения.
6. Соотношения для операторов спина ½.
Все соотношения можно вычислить непосредственно. Например:
= (ħ2/4) (|z +›‹z–| + |z–›‹z+|)(|z +›‹z–| + |z–›‹z+|)=
(ħ2/4) (|z +›‹z–|z +›‹z–| + |z +›‹z–|z–›‹z+| + |z–›‹z+|z +›‹z–| +|z–›‹z+|z–›‹z+|) =
(ħ2/4) (0·|z +›‹z–| + 1·|z +›‹z+| + 1·|z –›‹z–| + 0·|z –›‹z+|) =
(ħ2/4) (|z +›‹z+| + |z –›‹z–|) = (ħ2/4)
.
Или же можно воспользоваться соответствующими соотношениями для σ–матриц Паули. И получаем:
= (ħ2/4), 
= (ħ2/4).
Отсюда
Операторы 
, 
,
антикоммутируют:
здесь 
— нулевой оператор, который изображается в любом представлении квадратной матрицей 2х2, состоящей лишь из нулей.
Коммутационные соотношения таковы:
Обратите внимание на то, что оператор 
пропорционален тождественному оператору . Поэтому его действие сводится лишь к умножению справа или слева на число 
.
Т.е. коммутирует с любым оператором ,, и, вообще, с оператором
= ħ/2[n
+ m
+ k
] = [n + m + k].
Следовательно, особенности квантово–механической системы со спином ½ таковы, что одновременно могут быть измерены лишь две величины: квадрат момента импульса и проекция момента импульса на любое направление.
Одновременно измерить проекции момента импульса хотя бы на две координатные оси невозможно, поскольку ,, не коммутируют между собой.
Последние комментарии