Из всего творчества Клеро нас интересует здесь ближайшим образом его книга по теории фигуры Земли. Как видно из самого заглавия книги, эта теория основывается в ней на законах гидростатики: в этом ее большая и принципиальная новизна. История гидростатики до XVIII столетия знает великие имена и важнейшие открытия — Архимеда, Галилея, Паскаля. Но все это было, если так можно выразиться, гидростатика «в малом», т. е. преимущественно вопросы о равновесии тяжелых тел, погруженных в жидкость. Но для решения гидростатической проблемы «в большом», например для определения фигуры жидкой планеты, свободно вращающейся в пространстве, — для этого общих, методов и приемов, ко времени появления книги Клеро, еще не существовало. Имелись только отдельные, своеобразные «принципы», предложенные величайшими математиками и механиками XVII столетия — Ньютоном и Гюйгенсом.

В своих «Началах» Ньютон поставил и до конца решил задачу о фигуре равновесия вращающейся жидкой массы, предположив, что жидкость однородна, что все ее частицы взаимно притягиваются по закону всемирного тяготения, и допустив априорно, что жидкая планета имеет фигуру эллипсоида вращения, слабо сжатого по полярной оси. Для своего решения Ньютон ввел понятие «веса» столбов жидкой массы, направленных от полюса и от экватора к ее центру. Эти «веса» получались у него определенным образом из сил притяжения, действующих на частицы столбов от всей жидкой массы, из длины этих столбов и из центробежной силы, действующей на частицы экваториального столба. Введя это своеобразное понятие «веса», Ньютон утверждал, что для равновесия жидкой планеты, вращающейся как твердое тело вокруг своей полярной оси, необходимо, чтобы «веса» обоих столбов — полярного и экваториального — были между собой равны1.

Второй принцип, предложенный Гюйгенсом, который не принимал всемирного тяготения и, стоя на позициях Лейбница, допускал лишь притяжение всех частиц жидкости к ее центру, казался гораздо проще ньютонова и гласил, что для равновесия жидкой массы необходимо, чтобы в каждой точке ее поверхности направление силы тяжести (или веса в обычном смысле этого слова, т. е. равнодействующей сил притяжения и центробежной) было направлено по перпендикуляру к поверхности жидкости. Гюйгенс высказал этот принцип в 1690 г. в статье «О силе тяжести», приложенной к знаменитому «Трактату о свете»2.

То, что каждый из этих принципов был необходим для равновесия, вытекало с очевидностью из рассуждений как Ньютона, так и Гюйгенса. Но был ли каждый из них в отдельности или они оба, взятые совместно, как полагал Буге3, достаточны для равновесия жидкой планеты, этого никто тогда не знал; и Клеро справедливо замечал, что если оба эти принципа друг от друга независимы, то где гарантия, что не имеются еще и другие условия равновесия, совершенно отличные от постулатов Ньютона и Гюйгенса, но столь же необходимые для равновесия?

Весь этот комплекс вопросов Клеро разрешил полностью на первых же страницах своей книги о теории фигуры Земли. Он дал условие,— и необходимое и достаточное для равновесия. Вместо двух ньютоновых столбов он рассматривал канал любой формы, взятый в жидкости, замкнутый в себе или заканчивающийся в двух точках ее поверхности, он утверждал, что равновесие в нем невозможно, если только усилия (efforts) всех частей жидкости, в нем заключенных, не уничтожают друг друга. Что это за таинственные «усилия» жидкости? Достаточно немного вдуматься в текст книги Клеро, чтобы усвоить, что под этим термином он понимал просто давления, развивающиеся в канале; следовательно, он утверждал, что разность давлений, взятая по всему ходу любого замкнутого канала, в случае его равновесия должна приводиться к нулю. Отсюда немедленно получалось, что разность давлений в любых двух точках канала зависит только от их положения внутри жидкой массы, но не может, в случае равновесия, зависеть от формы канала, между ними проведенного; и далее, отсюда вытекало, что давления в любой точке на поверхности жидкой массы при равновесии должны быть между собой равны, а отсюда весьма просто следовал также и принцип Гюйгенса.

Это гениальное в своей простоте соображение «придало гидростатике совершенно иной вид и превратило ее в новую науку»,— так говорит Лагранж в своем очерке принципов гидростатики4.

Разумеется, это открытие бросало яркий свет на принцип и на вычисления Ньютона: то, что он называл «весами» (pondera) столбов, были просто давления, производимые в центре массы полярным и экваториальным каналами жидкости, и ньютоново условие равновесия оказывалось совершенно интуитивным; но вместе с тем делалось очевидным, что этот принцип, даже взятый совместно с принципом Гюйгенса, еще недостаточен как условие равновесия (§ 15 первой части книги Клеро).

Но здесь необходимо отметить еще одно существенное и любопытное обстоятельство: чисто физическое соображение, выдвинутое Клеро как условие равновесия, немедленно сочеталось у него с другим открытием, которое он сделал по математическому анализу за три-четыре года перед тем. Эту теорему его мы приведем сейчас дословно по тексту уже пожелтевшей рукописи Клеро, посланной им в Петербургскую академию вместе с письмом от 17 сентября 1740 г. на имя Эйлера5.

Содержание этой теоремы таково:

«Если  представляет собой дифференциал какой угодно величины, составленной из x и y и из постоянных, то утверждаю, что дифференциал от А, считая только y переменным и отбрасывая dy, равен дифференциалу от B, предполагая только x переменным и отбрасывая dx, что я выражаю так:».

Таким образом, мы имеем здесь первую формулировку теоремы о равенстве накрест взятых производных в полном дифференциале функции двух переменных, с той несущественной оговоркой, что Клеро не вводит ни термина, ни специального обозначения для частных производных. Эту именно теорему он и применил к условию равновесия каналов в жидкой массе, показав (в главе IV первой части), что элементарное усилие, или, — как мы сказали бы теперь, — дифференциал давления, на элементе длины канала всегда приводится к дифференциальной форме , где Q и Р, т. е. проекции действующей силы на перпендикулярные оси, суть функции координат точек x, y, a dx, dy — проекции на те же оси бесконечно малого отрезка канала. Отсюда Клеро приходит к убеждению, что «всякий раз, как будет соблюдено условие

 

,

 

можно быть уверенным, что равновесие будет иметь место в жидкости» (§ 17 первой части). В конце IV главы Клеро распространяет это условие и на пространственную задачу, вводя проекции сил на три оси координат (§ 46 первой части).

Всеми этими положениями и была, в сущности, создана аналитическая гидростатика. И это тем более изумительно, что фундаментальное для нее понятие давления еще не было систематически введено в науку; этот последний шаг был сделан Эйлером лишь через 12 лет после появления книги Клеро в работе «Principes généraux du mouvement des fluides»6, где применен впервые и самый символ р для обозначения давления. Однако Лагранж в упомянутом очерке дает ясно понять, что эйлеровы уравнения равновесия жидкой массы находятся в теснейшей связи с общим принципом равновесия, данным Клеро. Несомненно к тому же, что и введение в формулировку этого принципа понятия «силовой функции» со стороны позднейших математиков — например, Лежандра — было только естественным развитием основного положения Клеро о том, что в случае равновесия элементарное «усилие» есть полный дифференциал.

Первая часть книги Клеро содержит систематическое развитие этого общего принципа и приложение его к случаям действия на жидкость различного рода сил как простейших, так и более сложных по своему аналитическому выражению. (Изучая эту часть, читатель все время должен переводить на современный язык терминологию Клеро: «усилие» есть элементарное давление dp; «вес части канала» — это разность давлений на его концах, иными словами, работа приложенных объемных сил на заданном отрезке канала.)

Вместе с тем, имея в виду представить книгу Клеро на общем историческом фоне науки XVIII в., мы должны здесь же подчеркнуть один пробел, оставленный Клеро в формулировке его принципа. Элементарное усилие, как мы видели, должно быть, в случае равновесия, полным дифференциалом некоторой функции от двух (или трех) переменных. Но о свойствах этой функции Клеро не сделал никаких оговорок. С удивительной проницательностью Даламбер (после смерти Клеро) заметил, что если эта функция неоднозначна или если внутри силового поля имеются особые точки этой функции, то равновесие все равно не будет иметь места. Даламбер развил эти замечания в мемуаре «О равновесии жидкостей», опубликованном в 1768 г. Как видим, когда от жизни людей мы переходим к истории научных истин, имена Клеро и Даламбера должны быть снова поставлены не иначе, как одно рядом с другим.

Во второй части своей книги Клеро переходит от общих вопросов к фигурам равновесия жидких планет. В I главе рассматривается случай однородной жидкости. Как мы уже сказали, теория однородных жидких планет была начата Ньютоном; позднее она была весьма существенно развита Маклореном в «Трактате о флюксиях», вышедшем в свет всего за год до появления книги Клеро7. Здесь условие равновесия приведено к уравнению, связывающему угловую скорость вращения ω жидкой массы и ее плотность ρ (точнее говоря, отношение ω2) со сжатием того эллипсоида вращения, который служит поверхностью уровня жидкой планеты; таким образом, здесь возможность эллипсоидальной фигуры доказана, а не просто допущена, как у Ньютона. Клеро находит метод Маклорена столь «прекрасным и глубоким», что ведет изложение этой проблемы, следуя точно за Маклореном, и дает его уравнение равновесия.

Однако в этой теории жидкой однородной планеты последнее слово принадлежало все же не Маклорену и Клеро, а Даламберу и Лапласу. В мемуаре, опубликованном через тридцать лет после появления книги Клеро, Даламбер провел исследование уравнения равновесия Маклорена — Клеро и доказал, что если при данном значении отношения ω2равновесие жидкой массы возможно, то ему будут соответствовать, вообще говоря, не одна, а две фигуры равновесия, иными словами, два эллипсоида вращения с различными сжатиями. Этот мемуар Даламбера8 является одним из прекраснейших в его творчестве; он особенно замечателен тем, что в нем впервые ставится вопрос об устойчивости фигур равновесия, так что с ним может быть в известной мере исторически связана теория линейных серий фигур равновесия, созданная впоследствии Пуанкаре.

Все следующие главы второй части книги Клеро посвящены проблеме фигур равновесия неоднородной жидкости — вопросу, в котором Клеро предшественников совершенно не имел. Эти главы и составляют как бы самое ядро его книги, ее наиболее существенную часть. Результаты Клеро здесь особенно удивительны в свете дальнейшего развития этой проблемы. Дело в том, что значительно позднее было доказано, что для неоднородной вращающейся жидкой массы эллипсоидальные конфигурации вообще невозможны; но вместе с тем было строго доказано и то, что в первом приближении, если центробежная сила, развиваемая при вращении, настолько мала по сравнению с притяжением, что квадратом отношения этих сил можно пренебречь, то эллипсоидальные конфигурации, как форма равновесия, возможны9.

Разумеется, Клеро ничего этого не знал; он просто ограничил себя этим первым приближением и шел обратным путем, т. е. он не разыскивал возможных конфигураций равновесия вообще, а проверял, может ли быть фигурой равновесия эллипсоид вращения, сжатие которого было бы величиной того же порядка малости, как и упомянутое отношение центробежной силы к силе притяжения. Словом, Клеро поступал в отношении неоднородной жидкости совершенно так же, как Ньютон в отношении однородной; но принципиальное различие обоих случаев было то, что ньютоново решение оказалось впоследствии частным случаем общей теории, не зависимым от каких бы то ни было приближений; в то время как допущение Клеро оказалось приемлемым в той и только той степени приближения, с которой он его проводил. Действуя этим методом проверки, Клеро не только доказал возможность первого приближения, но и привел условие равновесия эллипсоида к некоторому интегро-дифференциальному уравнению; теоретически говоря, это уравнение дает возможность определить сжатия последовательных слоев неоднородной жидкости, если их плотности заданы как функция расстояния от центра («основное уравнение» Клеро, § 55 второй части).

За такую постановку проблемы академик А. М. Ляпунов в наши дни довольно сурово порицал Клеро10. Но, учитывая все сказанное академиком А. М. Ляпуновым, мы должны отметить и то, что Клеро в его эпоху о втором приближении не мог и мечтать; а с другой стороны, что никто не сделал больше, чем сам академик А. М. Ляпунов, для утверждения значения результатов Клеро. Так, в мемуаре 1903 г., применив ко всей проблеме равновесия неоднородной жидкости совершенно новый метод последовательных приближений, не связанный ни с какими допущениями о форме жидкой массы, А. М. Ляпунов в первом приближении получает именно уравнение Клеро11; а в мемуаре 1904 г., исследуя это уравнение, А. М. Ляпунов показал, что оно допускает решение для функции, определяющей форму слоев, при столь широких предположениях о плотности слоев внутри массы (например, предполагая ее прерывной), которые далеко превосходят по своей общности все то, что могли представлять себе математики XVIII в. Для этого анализа А. М. Ляпунов создал специальный класс интегралов, превращающихся при некоторых частных предположениях в интегралы Стильтьеса. Все эти исследования показали, какую глубокую трактовку все еще допускает старинная проблема Клеро.

Разумеется, та цель, которую преследовал сам Клеро, могла быть и была совершенно иная. Над ним тяготела другая задача: определить теоретически возможные пределы для сжатия Земли, если считать, что она представляет собою неоднородную жидкую планету; этот вопрос был для него тем более острым, что в «Началах» Ньютона он находил на него ответ; однако правильность этого ответа Клеро принципиально отрицал.

Дело в том, что в 1-м и 2-м изданиях «Начал» (1687 и 1713 гг.) в конце предложения XIX книги III у Ньютона имелось следующее утверждение:

«Так обстоит все это в предположении, что вещество планеты однородно. Однако, если вещество плотнее у центра, чем по окружности, то диаметр, проведенный от востока к западу, будет еще больше».

Таким образом, Ньютон утверждал здесь, что сжатие неоднородной планеты должно быть больше, чем у однородной (при одинаковой величине отношения центробежной силы к силе тяжести). Между тем, по теории Клеро получалось как раз обратное. Поэтому в целом ряде мест своей книги12 Клеро приводит возражения против этого утверждения Ньютона, не зная, очевидно, что Ньютон впоследствии, по-видимому, от него сам отказался, так как он исключил приведенное место из 3-го издания «Начал» (1725 г.). Кто был здесь прав — Клеро или Ньютон, могли решить только фактические геодезические измерения. Но, к сожалению, во времена Клеро среди французских геодезистов по этому поводу царила совершенная путаница, и вопрос об истинном значении сжатия так и остался мучительной загадкой для Клеро13. Только через несколько десятилетий после его смерти, в начале XIX в., была определена почти верная величина сжатия Земли; тогда лишь была установлена правильность всей теории «первого приближения», полученного Клеро. Практически оно оказалось совершенно достаточным и для наших дней.

Наконец, в дальнейшем развитии науки эта же теория получила еще и другое подтверждение. Фигура равновесия определяется, разумеется, полем сил тяготения, развивающихся внутри жидкой массы. Но эта фигура сама находится в поле сил тяготения, развиваемом внешними телами, например Солнцем и Луной; это внешнее поле вызывает определенные движения всей фигуры, например прецессионное движение ее оси. Поэтому возникает вопрос: так как оба эти поля, внутреннее и внешнее, едины в своей физической сущности, то нет ли возможности определить фигуру равновесия, по возможности исключив внутреннее поле и воспользовавшись только теми данными, которые либо определяются на самой поверхности Земли (отношение центробежной силы к силе тяжести), либо теми, которые получаются астрономически, как, например, прецессионным движением земной оси. Иными словами, нельзя ли так преобразовать «основное уравнение» Клеро, чтобы ввести в него «прецессионную постоянную», но вместе с тем исключить внутреннее поле, т. е. неизвестное нам распределение масс внутри Земли?

Это особенное направление в проблеме Клеро, начатое ещё Даламбером в упомянутой уже «Теории предварения равноденствий» (1749), было закончено только Пуанкаре; оно привело к одному из самых замечательных результатов всего цикла геодезии и небесной механики, к так называемому определению пределов сжатия Земли через «постоянную прецессии». И все это было достигнуто единственно путем некоторых преобразований «основного уравнения» Клеро; было еще раз показано все неизмеримое богатство результатов, заключавшихся в теории «первого приближения». Вот почему, заканчивая наш краткий обзор содержания книги Клеро, мы можем и теперь повторить слова, сказанные о ней более ста лет тому назад Лапласом:

«Важность всех этих результатов и изящество, с которым они представлены, ставят это произведение в ряд самых прекрасных работ из области математики»14

 

  • 1. Решение Ньютона, поражающее своей глубиной, но весьма сжато у него изложенное, требует и в настоящее время обширных комментариев к тексту знаменитого Предложения XIX из III книги «Начал». См. примечания А. Н. Крылова (Собр. трудов, т. VII, стр. 531 — 535) и статью Л. Н. Сретенского «Ньютонова теория приливов и фигуры Земли» (Сборник «Исаак Ньютон», стр. 218 — 225).
  • 2. Гюйгенс. Трактат о свете. ОНТИ, 1935; но в русский перевод дополнение о силе тяжести не введено. Traité de lumiére avec un discours sur la cause de la pesanteur (Leyden, 1690).
  • 3. J. P. Bouguer. Comparaison des deux lois que la Terre et les autres planétes doivent observer dans la figure que la pesanteur leur fait prendre. Mém. Ac. Sc. Paris, 1734, p. 21 — 40.
  • 4. Лагранж. Аналитическая механика, стр. 137.
  • 5. Рукопись под титулом «Sur l'intégration ou la construction des équations diéffrentielles», так же как и письмо Клеро и ответ Эйлера хранятся в Архиве АН СССР. Эйлер доложил эту работу Клеро в заседании Конференции 17 октября 1740 г. («Протоколы Конференции Академии наук», т. I, стр. 635, 1897). Клеро опубликовал свою работу на эту тему: «Recherches générales sur le calcul intégrals» в Mém. Ac. Sc. Paris, 1749, p. 425 — 436 и «Sur l'intégration... » (и т. д., как в петербургской рукописи) в Mém. Ac. Sc. Paris, 1740, p. 293 — 323. Подробный разбор этих работ см.: М. Cantor, loc. cit., Bd. Ill, S. 883 — 889.
  • 6. Mém. Acad. Berlin.  1755, p. 274.
  • 7. Maclaurin. A Treatise of Fluxions. Edinburgh, 1742, v. II, p. 522 — 566.
  • 8. D'Alembert. Sur la figure de la Terre. Opusc. Mathem., v. VI, p.  47  — 67.
  • 9. См., например, Poincaré. Figures d'équilibre d'une masse fluide. Paris, 1902, p. 65 — 67.
  • 10. Приводим здесь полностью мнение знаменитого математика из его лекции «О форме небесных тел» (Изв. АН СССР, Отд. физ.-мат. наук, 1930, стр. 38 — 39): «Клеро, рассматривая неоднородную жидкую массу, вращающуюся весьма медленно, предположил a priori, что поверхности уровня суть эллипсоиды вращения, и занимался лишь разысканием элементов этих эллипсоидов, ограничиваясь первым приближением. Между тем, так задачу ставить нельзя, ибо поверхности уровня в ней не могут быть эллипсоидами, как это и было доказано значительно позже. Можно только сказать, что они мало отличаются от эллипсоидов, но и это только в первом приближении, ибо уже во втором приближении они делаются некоторыми поверхностями вращения четвертого порядка. Таким образом, совершенно неправильно искать элементы эллипсоидов в первом приближении, ибо это суть элементы тех эллипсоидов, которые сами представляют неизвестные поверхности в первом приближении. Таким образом, по самой постановке задачи Клеро не мог идти далее первого приближения».
  • 11. Изложение этого вывода А. М. Ляпунова см. в нашей статье «Постановка проблемы фигур равновесия в теории А. М. Ляпунова» (Приложение к книге: П. Аппель. Фигуры равновесия однородной вращающейся жидкости. 1936, стр. 319 — 336).
  • 12. Введение ко второй части, § 35 и 51 второй части.
  • 13. Известная доля вины в этой путанице лежит и на самой лапландской экспедиции, так как полученная ею длина градуса дуги меридиана под широтой Полярного круга оказалась на 430 м больше действительной. Объяснить происхождение этой огромной ошибки довольно трудно (см.: В. Ф. Красовский. Руководство по высшей геодезии, ч. II, стр. 428, 1942). Так или иначе, сжатие, которое было принято к 1740-му году, было 1 : 178, т. е. почти в два раза больше истинного; оно могло соответствовать первоначальному предположению Ньютона, но никак не теории  Клеро.
  • 14. Мéс. Cél., v. V, р. 12 (1825).

Добавить комментарий

Plain text

  • HTML-теги не обрабатываются и показываются как обычный текст
  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.
CAPTCHA
Этот вопрос задается для того, чтобы выяснить, являетесь ли Вы человеком или представляете из себя автоматическую спам-рассылку.