Квантовомеханические векторы и операторы в гильбертовом пространстве. IV

Приведённые ниже текст является частью книги «Первый шаг в квантовую реальность».

Чтобы скачать полный текст, пройдите по ссылке.

Назад   

11. Представление эрмитового оператора в его собственном базисе.

Пусть дан некоторый ортонормированный базис  ‹е_i|е_j› = δ_ij,     _{i , j}  = 1, 2.

Построим с помощью этого базиса эрмитов оператор:

  = λ₁|е₁›‹е₁| + λ₂|е₂›‹е₂| = .

Можно говорить, что ортонормированный базис |е₁›, |е₂› является собственным базисом оператора .

Оказывается, что все недиагональные матричные элементы эрмитового оператора в его собственном базисе равны нулю, а диагональные — равны собственным значениям.

В самом деле

‹е₁||е₁› = ‹е₁(λ₁|е₁›‹е₁| + λ₂|е₂›‹е₂|)е₁› = λ₁‹е₁|е₁›‹е₁|е₁› + λ₂‹е₁|е₂›‹е₂|е₁› = λ₁ ·1 · 1 + λ₂ · 0 · 0 = λ₁.

Аналогично

‹е₁||е₂› = ‹е₂||е₁›  = 0,

‹е₂||е₂› = λ₂ .

Т.е. матрица эрмитового оператора, представленного в его собственном базисе, диагональна:

.

12. О том, как называются представления.

Обычно, решая какую-то физическую задачу, мы задаёмся некоторой системой координат и все необходимые физические величины записываем в этой системе координат.

Аналогично, решая задачи, сформулированные в терминах гильбертова пространства, мы задаёмся тем или иным ортонормированным базисом, а затем все векторы и операторы представляем в этом базисе, т.е. мы выбираем соответствующее представление.

Таким образом, выбор представления или, иначе говоря, выбор ортонормированного базиса в гильбертовом пространстве аналогичен выбору системы координат при решении школьных физических задач.

Представления часто получают собственные названия по именам тех эрмитовых операторов, которые в данном представлении диагональны.

Например, обозначим как следующий эрмитов оператор:

 = |е₁›‹е₁| – |е₂›‹е₂|,

здесь  |е₁› и |е₂› — векторы некоторого ортонормированного базиса.

Соответствующая матрица, — одна из σ-матриц Паули, диагональна:

.

Отсюда понятно, почему оператор назван именно , а не иначе.

И если любые векторы и операторы изображаются в ортонормированном базисе |е₁›, |е₂›, то говорят о –представлении.

Ещё пример. Пусть даны базисные векторы:

|r₁› = (|е₁› + |е₂›)/,

|r₂› = (|е₁› – |е₂›)/.

Непосредственно убеждаемся, они составляют ортонормированный базис, т.е. ‹r_i|r_j› = δ_ij,     _{i, j} = 1, 2.

Вычислим матричные элементы оператора

 = |r₁›‹r₁| – |r₂›‹r₂| =  [(|е₁› + |е₂›)(‹е₁| + ‹е₂|) – (|е₁› + |е₂›)(‹е₁| + ‹е₂|)]/2 = |е₂›‹е₁| + |е₁›‹е₂|.

в σ_z–представлении:

‹е₁||е₁› = ‹е₂||е₂› = 0,

‹е₂||е₁› = е₁||е₂› = 1.

Соответствующая матрица совпадает с одной из двух недиагональных σ-матриц Паули:

.

Отсюда понятно, почему оператор  назван именно так, а не иначе.

Матрица оператора  в своём собственном базисе, |r₁›, |r₂›, диагональна и выглядит точно также, как матрица Паули σ_z.

И если матрицы любых векторов и операторов изображать в ортонормированном базисе |r₁›, |r₂›, это значит, что принято –представление.

Назад   

©   А.А.Дмитриевский.