Приведённые ниже текст является частью книги «Первый шаг в квантовую реальность».
Чтобы скачать полный текст, пройдите по ссылке.
Назад Вперёд
4. Эрмитовое сопряжение комплексных чисел.
Пусть дана некоторая матрица-столбец b. Умножим её на некоторое комплексное число с:
с · b = (сЕ)b,
здесь Е — единичная матрица.
Тогда, принимая во внимание, что эрмитово сопряжение представляет собой операции транспонирования и комплексного сопряжения, выполняемые в любом порядке, получим:
с† b† = ((сЕ)b)† = b† (сЕ) † = b† ((сЕ)Т)* = b† (сЕ)*= с* b†.
Отсюда с† = с*.
Аналогичное равенство справедливо не только для матричных, но и для инвариантных выражений.
В частности, выражение типа ‹А|В› является комплексным числом, поэтому
(‹А|В›)† = (‹А|В›)*.
Итак, комплексные числа после эрмитового сопряжения превращаются в комплексно сопряжённые числа; в частности, действительные числа в результате эрмитового сопряжения не меняются.
5. Линейные операторы в гильбертовом пространстве.
Квадратная матрица Q задаёт правило, в соответствии с которым матрице-столбцу g ставится в соответствие матрица-столбец Qg.
В рассматриваемых нами случаях Q — квадратная матрица второго порядка, поэтому матрицы-столбцы g и Qg содержат по две строки.
В инвариантной записи матрицу Q изображают оператором 
, который, действуя на кет-вектор |g› двумерного гильбертова пространства, переводит его в кет-вектор |g› того же пространства.
Т. е. операторы, как и матрицы это тоже правила, но они действуют на векторы в гильбертовом пространстве, в результате чего произвольному вектору гильбертова пространства ставится в соответствие некоторый определённый вектор гильбертова пространства.
Отсюда понятно, что оператор в некотором смысле аналогичен функции. — В самом деле, функция это правило, в соответствии с которым одному числу ставится в соответствие другое. Аналогично, оператор это как бы функция, но не для чисел, а для векторов гильбертова пространства.
Определение. Линейной комбинацией называется выражение, составленное из однотипных объектов, таких как векторы, матрицы и т.п., при этом допускается только две операции: умножение на число и суммирование.
Например, матрица-столбец g = (α1g1 + α2g2) является линейной комбинацией двух подобных матриц g1 и g2, здесь α1 и α2 — некоторые комплексные числа.
Для матриц справедливо равенство:
Qg = (α1Qg1 + α2Qg2).
Записывая его в инвариантной форме, получим условие линейности оператора:
|g› = (α1|g1› + α2|g2›) = (α1 |g1› + α2 |g2›).
Итак, линейным оператором можно сразу действовать на линейную комбинацию векторов, а можно действовать сначала на отдельные векторы, составляющие линейную комбинацию, и лишь потом сконструировать линейную комбинацию. — Результат будет одинаковым.
Следует отметить, что операторы, которые в инвариантной записи изображают матрицы, всегда линейные.
6. Проекторы.
Проективные матрицы П1 = е1 · е1† и П2 = е2 · е2†, где
изображаются в инвариантной форме проективными операторами или, коротко, проекторами:
= |е1›‹е1|, 
= |е2›‹е2|,
здесь векторы |е1› и |е2› составляют ортонормированный базис.
Подействуем проектором на произвольный вектор |b›:
|b› = |е1›‹е1|(b1|е1› + b2|е2›) = b1|е1›‹е1|е1› + b2|е1›‹е1|е2› =
b1|е1› · 1 + b2|е1› · 0 = b1|е1›.
Проектор выделяет из произвольного вектора |b› ту его часть b1|е1›, которая направлена вдоль вектора |е1›, т. е. проектирует вектор |b› на вектор |е1›.
Аналогичное утверждение справедливо для и вообще для любого проектора вида |b›‹b|. Отсюда понятно происхождение терминов «проектор», «проективная матрица».
Угол между двумя направлениями можно вычислить по формулам (см. Описание направлений и поворотов в трёхмерном пространстве. VI):
cos2α/2 = d2†П1d2 = d1†П2d1.
Поэтому соответствующее инвариантное выражение принимает вид:
cos2α/2 = ‹d2||d2› = ‹d1||d1›,
теперь = |d1›‹d1|, = |d2›‹d2|, или , что то же самое
cos2α/2 = |‹d2|d1›|2 = |‹d1|d2›|2.
7. Условие полноты ортонормированного базиса.
Для матриц
непосредственно вычисляем:
Следовательно, их сумма равна единичной матрице:
Е = е1 е1Т + е2 е2Т .
В инвариантной записи это равенство, называемое условием полноты базисных векторов, имеет следующий вид:
= | = |е1›‹е1| + |е2›‹е2| =
,
здесь | — та самая перегородка, которая встречается во всех инвариантных выражениях.
Слово «полнота» означает, что в сумме для оператора встречаются все без исключения векторы какого-либо одного ортонормированного базиса гильбертова пространства.
8. Переход от инвариантной формы записи к матричной.
Воспользовавшись условием полноты, можно любой вектор гильбертова пространства разложить по ортонормированному базису, при этом достаточно заменить вертикальную черту соответствующим выражением.
Для некоторого кет-вектора |b›, указывающего на состояние системы и потому называемого вектором состояния, получаем:
|b› = (|е1›‹е1| + |е2›‹е2|)b› =|е1›‹е1|b› + |е2›‹е2|b› = b1|е1› + b 2|е2›,
здесь b 1, b 2 — коэффициенты в разложении по базисным векторам.
Коэффициенты b 1, b2 зависят от того, какой конкретный ортонормированный базис выбран. В связи с этим бра-векторы называются векторами представления, т.к. они, в силу равенств bk = ‹еk|b›, k =1, 2, представляют вектор состояния в конкретном ортонормированном базисе.
Заменив вертикальную черту в скобке ‹b|b›, получим выражение для ‹b|b› через коэффициенты:
‹b|b› = ‹b|е1›‹е1|b› + ‹b|е2›‹е2|b› = b1* · b 1 + b 2* · b 2
= |b1|2 +|b2|2.
Теперь заменим в выражении ‹b||b› обе вертикальные черты:
‹b||b› =‹b(|е1›‹е1| + |е2›‹е2|)(|е1›‹е1| + |е2›‹е2|)b› =
( b1*‹е1| + b2*‹е2|)(b1|е1› + b2|е2›) =
b1*b1‹е1||е1› + b1*b2‹е1||е2› + b2*b1‹е2||е1› + b2*b2‹е2||е2› =
Числа Qij = ‹еi ||еj›, i, j = 1, 2 составляют квадратную матрицу. Они и есть те матричные элементы, которые представляют оператор в ортонормированном базисе |е1›, |е2›.
Итак, для того, чтобы перейти от операторной формы записи к матричной, необходимо произвести замену
| = |е1›‹е1| + |е2›‹е2| =
,
а затем выполнить требуемые действия.
Впрочем, можно сразу cконструировать матричные выражения, исходя из того, что они подобны инвариантным выражениям.
А именно, инвариантному выражению ‹b||b› соответствует матричное выражение b†Qb = b†(Qb). Теперь всё это можно записать в развёрнутом виде согласно правилу умножения матриц.
(Qb) является матрицей-столбцом с матричными элементами
,
b†(Qb) является произведением матрицы-строки b† на матрицу-столбец (Qb):
Последние комментарии