Вы здесь

7. Арифметическая теория солнечного календаря

 

Мы познакомились с двумя типами календарного солнечного года: блуждающим египетским в 365 дней и юлианским в 365¼ дней. Первый из них очевидным образом слишком короток и явления действительного солнечного года в нем быстро продвигаются вперед. Читатель помнит, что продолжительность действительного, или тропического, солнечного года была найдена равной

 

365,2422 дням.

 

Поэтому и юлианский год, содержащий 365,25 дня, тоже оказывается недостаточно точным; его длина больше надлежащей, и моменты тропического года в нем неизбежно отодвигаются назад, что мы видим на примере четырех основных точек солнечного года по табл. 2.

Теперь мы ставим задачу: найти такой календарный год, длина которого возможно лучше подходила бы к длине тропического года; особенность ее состоит в том, что в календарном году должно быть всегда целое число дней, именно 365 или 366, но никак не 365 дней с дробью; значит, эта календарная задача имеет только тот смысл, что требуется установить такую последовательность чередования годов в 365 дней (простых) и 366 дней (високосных), при которой среднее число дней, выведенное из данного ряда календарных годов, возможно точнее подходило бы к указанной длине тропического года. Эта задача решается в арифметике приемом последовательного деления (алгорифм Евклида).

Если принять календарный год равным 365 дням, то с каждым таким годом допускается ошибка в 0,2422 дня. Спрашивается: через сколько календарных лет эта ошибка дойдет до одного целого дня? Ответ, очевидно, будет: через

 

   года.

 

Отсюда ясно, что для уничтожения накапливающейся ошибки нужно будет вставлять по одному дню через каждые  года. Положим теперь, что мы будем производить эту вставку добавочного дня через каждые 4 года ровно. В такой системе длина года выйдет равной:

 

365 ¼ дня.                                              (1)

 

Вместе с тем ясно, что по нашему правилу добавочный день вставляется слишком часто, так как ошибка в один день накапливается не в четыре, а только  в года; значит, с каждым четырехлетием вставка производится на  года раньше, чем нужно. Спрашивается теперь: через сколько четырехлетий вставка добавочного дня произойдет на целый год раньше, чем нужно? Ответ будет: через

 

   четырёхлетий.

 

Это означает, что правильнее будет, после того как пройдет семь четырехлетий, прибавить один простой год, и только после него начать новый счет семи четырехлетий. Тогда получится такое распределение високосных лет:

1-й период

високосы    4, 8, 12, 16. 20. 24, 28, но 32 простой

2-й период

високосы    33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, но 61 простой.

В этой схеме после каждых семи четырехлетий проставляется по одному лишнему простому году; таким образом, получается период в 29 лет, из них 7 високосных и 22 простых. Можно сказать, следовательно, что после семи високосов следующий полагается не на 32, а на 33 году, т. е. с перерывом не в 4, а в 5 лет. Так как на каждые 29 лет у нас прибавлено 7 лишних дней (в високосных годах), то средняя длина календарного года в таком периоде составит:

 

 

Теперь можно рассуждать так: нам надо было прибавлять один простой год через  четырехлетия, но отнюдь не через каждые 7. Следовательно, с каждым 29-летним периодом мы прибавляем простой год на  четырехлетия раньше. Спрашивается: через сколько периодов мы произведем эту вставку на одно целое четырехлетие раньше? Ответ гласит: через

 

        периода в 29 лет.

 

Отсюда ясно, что через каждый период выгоднее переставить вставной простой год (32-й) на одно четырехлетие дальше, чем это делалось до сих пор, т. е. после 28-го високосного года считать еще 32-й год високосным, и потом только вставлять добавочный простой 33-й год. Тогда получится период другой формы, который мы назовем удлиненным, его вид будет таков:

1-й период

високосы    4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, но 36 простой

2-й период

високосы  37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, но 69 простой.

При такой схеме мы на каждые 33 года прибавляем 8 добавочных дней (в високосных годах); поэтому средняя длина одного года в удлиненном периоде равна:

Сделаем еще один шаг: нам было выгодно удлинять 29-летний период до 33-летнего через каждые  периода; но вместо этого мы пока удлиняем каждый 29-летний период до 33 лет. Спрашивается: через сколько удлиненных периодов у нас окажется на один краткий (29-летний) период меньше, чем надо? Ответ будет: через

 

  удлинённых периода.

 

Из этого мы заключаем, что еще правильнее будет после каждых трех длинных периодов в 33 года оставлять один краткий в 29 лет. Тогда получится схема нового периода, который будет составлен так:

3 удлиненных периода по 33 года, всего 99 лет, в них 3 · 8 = 24 високоса,

1 короткий период в 29 лет, всего 29 лет, в нем 1 · 7 = 7 високосов.

Итого: один общий период в 128 лет, в нем 31 високос.

Средняя длина календарного года в этом общем периоде будет

 

 

так как на каждые 128 лет включен всего 31 дополнительный день в високосных годах.

Не продолжая наших вычислений дальше — читатель проделает их без труда, — сопоставим полученные нами определения средней длины года в различных системах (1) ... (4), причем для удобства сравнения напишем дроби    в десятичном виде; тогда получим:

(1)    365d,25000          + 0d,00780

(2)    365d,24138          – 0d,00082

(3)    365d,24242          + 0d,00022

(4)    365d,24219          – 0d,00001

Числа во втором столбце показывают избыток или недостаток вычисленной длины года по сравнению с его действительной величиной, именно 365d,24220; обращаем внимание на их замечательную особенность: величина (1) больше надлежащей длины года, (2) меньше, (3) больше, (4) меньше; но ошибки каждой из них идут, все время уменьшаясь в численной величине; ошибка 4-й практически равна нулю. Этот ряд величин, иными словами дроби называются в арифметике подходящими дробями относительно дроби   . Следовательно, все наше изыскание наиболее правильного чередования простых и високосных лет и составление из них периодов равносильно вычислению подходящих дробей к исходной дроби 0,2422. Каждая из найденных дробей дает такой период, и к ним применима следующая весьма важная теорема арифметики: невозможно найти периоды, которые были бы в данном случае короче 4, 29, 33, 128 лет и из которых средняя длина года получилась бы точнее, чем из подходящих дробей  (теорема Лагранжа).

Таким образом, мы получили четыре типа календарных периодов или четыре системы високоса, именно:

 

(1)      4-летний период с 1 високосом;

(2)    29-летний период с 7 високосами;

(3)    33-летний период с 8 високосами;

(4)  128-летний период с 31 високосом.

 

Теперь возникает еще другой вопрос: какое распределение високосов внутри периода арифметически наиболее целесообразно? Например, на каких местах 33-летнего периода лучше всего расставить его 8 високосных лет? Мы покажем сейчас на примерах, что надлежащим расположением високосов внутри периода можно достичь, чтобы начало календарного года не отходило больше, чем на половину дня, от начала среднего года, длина которого выведена из всей длины данного периода.

Разъясним все это на периоде (1), который есть не что иное, как уже известная нам система юлианского високоса. Мы хорошо знаем, что в нашем календаре високосными считаются годы, порядковый номер которых делится нацело на 4, как, например, 1920, 1924, 1928 и т. д., или 0, 4, 8 и т. д. Если порядковый помер високосного года есть N, то N должно быть кратным четырем, т. е. N= 4n, где n любое положительное целое число.

Что происходит в такой системе? Допустим, что какое-либо явление повторяется через промежуток времени, в точности равный 365¼ дням (или 365d6h), и что в каком-либо году (назовем его для определенности 4-м), это событие произошло 20 марта в полночь, или в 0 часов, если считать начало суток от полуночи. В какие дни и часы то же самое явление будет наблюдаться в одноименные дни последующих лет, видно из нижеследующей таблицы (звездочкой отмечены високосные годы):

 

Год 4-й*, марта 20,   0 часов, или март 20,00

Год   5-й, марта 20,   6 часов, или март 20,25

Год   6-й, марта 20,  12 часов, или март 20,50

Год   7-й, марта 20,  18 часов, или март 20,75

Год   8-й, марта 20,   0 часов, или март 20,00

 

Способ составления таблички ясен: с каждым простым годом явление1 уходит на четверть дня вперед; с каждым високосным оно отходит на 3/4 дня (18 часов) назад и потому вновь возвращается к тому моменту, на который пришлось в 4-м (начальном) году. Из этой же таблички усматривается, что, располагая високосы на 4 м, 8-м, 12-м и т. д. годах от начала, мы будем годы 3-й, 7-й, 11-й и т. д., т. е. годы, третьи после високоса, начинать с ошибкой в ¾ дня. Но я утверждаю, что если сделать високосными 3-й, 7-й, 11-й и следующие годы от начала, то ошибка никогда не будет больше половины дня. Начав опять с 4-го года (который здесь будет простым), получим следующие смещения начала среднего года в календарном году:

 

Год  4-й, марта 20,   0 часов, или март 20,00

Год   5-й, марта 20,   6 часов, или март 20,25

Год   6-й, марта 20,  12 часов, или март 20,50

Год  7-й*, марта 19,  18 часов, или март 19,75

Год   8-й, марта 20,   0 часов, или март 20,00

 

Действительно, так как 7-й год положен високосным, то явление сдвигается на 18 часов назад, т. е. с полудня 20 марта в 6-м году перейдет в 7-м году на 6 часов вечера 19 марта; таким  образом, смещения будут: для 5-го года + 0d,25, 6-го + 0d,50; 7-го –0d,25; 8-го 0d,00, т.е. ошибки календарного года по численной величине не превысят половины дня. Читатель легко увидит, что в этой системе високосными годами будут уже не годы типа N = 4n, но типа N = 4n + 3, иными словами, те, порядковое число которых при делении на 4 дает остаток 3.

Мы упоминали выше про календарь, которым пользуются современные копты, именно  так называемый александрийский счет; одна из его особенностей, смысл которой только сейчас нам ясен, та, что високосными годами у них полагаются как раз 3-й, 7-й, 11-й и т. д. их эры, т. е. года типа 4n + 3. Таким образом, и в этом отношении их календарь оказывается рациональнее европейских.

Перейдем теперь к более сложным периодам, например к удлиненному периоду в 33 года, и поставим себе задачей распределить его годы так, чтобы внутри периода ошибка календаря против начала среднего года никогда не превышала половины дня. Так как длина года, выведенная из всего периода, равна  дня, то с каждым простым годом я отбрасываю дня; с каждым високосным прибавляю лишних  дня. Поэтому, начав с ошибки 0, мы последовательно получим ошибки    и т. д. Условимся теперь, что всякий раз как ошибка будет перерастать  (т. е. половину дня, мы будем производить в конце текущего года вставку, добавляя день, и тем самым уменьшать нарастающую ошибку на  , т. е. будем проставлять високос на соответственное место периода.

Руководясь установленным правилом, легко составим таблицу распределения ошибок к концу каждого года в периоде, причем для удобства письма мы выражаем их все в 33-х долях дня, отбрасывая знаменатель. Таким образом, получим следующую схему (табл. 6).

 

Таблица 6

Ошибки к концу каждого календарного года 33-х летнего периода в отношении среднего года, в   частях дня (звездочкой отмечены високосные годы)

Год

Ошибка 

Год 

Ошибка 

Год 

Ошибка 

Год 

Ошибка 

1

+  8 

9

+  6 

17

+  4 

25

+  2 

2

+ 16 

10

+  14 

18

+  12 

26

+  10 

3*

–  9 

11*

–  11 

19*

– 13 

27*

– 15 

4

–  1 

12

–   3 

20

– 5 

28

– 7 

5

+  7 

13

+  5 

21

+  3 

29

+  1 

6

+  15 

14

+  13 

22

+  11 

30

+  9 

7*

– 10 

15*

–  12 

23*

– 14 

31*

– 16 

8

– 2 

16

–   4 

24

– 6 

32

– 8 

 

33

   0 

Эта таблица показывает, что високосы будут стоять на следующих местах:

  3,   7,   11,   15,   19,   23,   27,   31,    затем

36,  40,  44,   48,    52,   56,   60,   64 ... и т.д.

Читатель обратит внимание на любопытную особенность полученного ряда значений ошибок: к концу двух годов, равно отстоящих от конца и от начала периода, ошибки равны между собой по величине и обратны по знаку. Например, для 5-го года +7; для 28-го –7; для 15-го –12, а для 18-го +12 и т.д.

Совершенно аналогичным способом могут быть обработаны и другие календарные периоды, выведенные выше. Считая ошибку в начале первого года равной нулю, мы к концу последнего года, но не раньше, снова придем к ошибке ноль, и нигде во всем периоде она не превысит половины дня.

Из приведенных примеров видно, что юлианский календарь, и именно в форме александрийского счисления, нашел свое естественное место в арифметической теории солнечного календаря. Другим календарем, основанным на той же теории, был, как сейчас увидим, средневековый персидский календарь.

 

  • 1. Иными словами, начало среднего года в 365 ¼ дней.

Добавить комментарий

Plain text

  • HTML-теги не обрабатываются и показываются как обычный текст
  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.
CAPTCHA
Этот вопрос задается для того, чтобы выяснить, являетесь ли Вы человеком или представляете из себя автоматическую спам-рассылку.