Спин ½ и дальнейшие обобщения. VII

Приведённые ниже текст является частью книги «Первый шаг в квантовую реальность».

Чтобы скачать полный текст, пройдите по ссылке.

Назад    Вперёд
13. Волновые функции в случае непрерывного спектра.

Волновые функции особенно удобны в случае непрерывного спектра, потому что они оказываются именно функциями, а не просто упорядоченным набором комплексных чисел.

В самом деле, волновые функции в двумерном случае представляют собой два числа, d = d(d₁, d₂), в случае бесконечного дискретного спектра они являются бесконечным рядом чисел, d = d(d₁, d₂  … d_n …). Наконец, когда спектр непрерывный, d = d_х, индекс х принимает любые действительные значения. Поэтому в привычных обозначениях это обычная функция: d = d(х).

При записи скалярного произведения двух волновых функций вместо суммирования появляется интегрирование:

.

В частности,  функции ортонормированного базиса ξ_q (х) удовлетворяют следующему условию нормировки:

.

здесь δ(q – q′) — δ–функция Дирака.

Пусть ортонормированный базис является полным, тогда любую волновую функцию ψ(х) можно представить в виде линейной комбинации базисных функций:

.

Отсюда

,

и, опустив штрих, имеем:

.

Волновая функция φ*(х) получается из выражения для φ(х) комплексным сопряжением:

.

Символически она изображается как ‹φ|, что согласуется с определением скалярного произведения.

Вычислим теперь

Итак, амплитуда перехода квантово–механической системы из состояния с волновой функцией ψ в состояние с волновой функцией φ равна:

а соответствующая вероятность P перехода равна P = |‹φ|ψ›|².

В частности

,

здесь ‹ψ|ψ› должна быть равна единице, потому что соответствующая вероятность равна единице. Если в ходе решения конкретных задач волновая функция ψ получается ненормированной, т.е. ‹ψ|ψ› ≠ 1, то её нормируют делением на .

Теперь пусть дано равенство

|ψ› = |φ›,

согласно которому некоторой произвольной волновой функции φ посредством линейного оператора   ставится в соответствие некоторая другая волновая функция ψ.

Найдём выражение для матричных элементов оператора  в некотором полном ортонормированном базисе ξ_q (х).

Воспользуемся линейностью оператора:

.

Выше было получено равенство p(q) = ‹ξ_q (х)|ψ›, поэтому

,

здесь  — матричные элементы оператора  в базисе ξ_q (х).

.

Предыдущее равенство можно интерпретировать так: матрица  умножается на вектор–столбец f(q′), а в результате получается вектор–столбец p(q), при этом все индексы меняются непрерывно.

Оператор * называется комплексно сопряжённым оператору , если для любой функции ψ выполняется равенство:

(ψ)* = *ψ*.

В символической записи *ψ* можно представить как ‹ψ|.

Поэтому выражение

‹φ|ψ› = ‹φ|ψ›,

где — эрмитов оператор, в развёрнутой форме принимает вид:

.

Теперь приступим к вычислению среднего значения физической величины, изображаемой эрмитовым оператором .

Допустим, что состояние квантово–механической  системы описывается некоторой нормированной волновой функцией ψ, ‹ψ|ψ› = 1. Кроме того, будем считать, что собственные функции оператора  составляют полный ортонормированный базис, причём каждой собственной функции базиса ξ_q (х) соответствует действительное собственное значение q согласно соотношению:

 ξ_q (х) = qξ_q (х),

Тогда

.

Итак,

Здесь |p(q)|²dq — вероятность того, что величина Q принимает значение q в пределах от q до q + dq.  Получившаяся формула полностью согласуется с правилом вычисления среднего значения, известного из теории вероятностей.

Наконец, переход от одного представления к другому уже был рассмотрен раньше; он выполнятся согласно формулам:

|d›_н = |Ud›,     _н = UU^†,

Здесь индекс «н» указывает на новое представление,  U — унитарный оператор.

Итак, символические обозначения для волновых функций, полученные при модификации формализма Дирака, оказались в случае непрерывного спектра очень экономными и удобными. 

Назад    Вперёд

©   А. А. Дмитриевский.