Вы здесь

Спин ½ и дальнейшие обобщения. I

 

Приведённые ниже текст является частью книги «Первый шаг в квантовую реальность».

Чтобы скачать полный текст, пройдите по ссылке.

 

Пора наполнить математическую теорию физическим содержанием. В качестве простейшей квантовомеханической системы, которая, тем не менее, содержит все существенные особенности квантовой реальности, рассмотрим систему со спином ½.

1. О собственном моменте импульса (спине) в квантовой механике.

Согласно классическим представлениям источником магнетизма являются электрические токи. При вращении заряженных тел происходит перенос электрических зарядов, т. е.  возбуждаются электрические токи, и, следовательно, возникает магнетизм.

Магнитные свойства вещества характеризуются магнитным моментом.

Отсюда понятно, что магнитный момент и момент импульса (применяются иные термины: момент количества движения, угловой момент), характеризующий количество вращательного движения, тесно взаимосвязаны.

В квантово–механической реальности такая связь тоже имеет место, причём, даже в тех ситуациях, когда о вращении, как об аналоге классического вращения, говорить не приходится.

В связи с этим в квантовой механике вводится понятие «спин» (от англ. spin — вращаться, вертеться) — собственный момент импульса квантово–механических систем, а также  элементарных частиц, имеющий квантовую природу и не связанный с перемещением системы или частицы, как целого.

Момент импульса имеет такую же размерность, что и ħ — приведённая постоянная Планка, ħ = 1,054572·10–34 Дж·c. Поэтому спин, как правило, измеряется в единицах ħ.

В 1925 году Дж. Уленбек и С. Гаудсмит,  исходя из анализа спектроскопических данных, установили, что электрон обладает собственным (спиновым) моментом импульса, равным ħ/2 и связанным с ним магнитным моментом, равным магнетону Бора  (здесь е и m - заряд и масса электрона, c — скорость света).

Иначе говоря, спин электрона равен ½ (в единицах ħ).

Несколько раньше, в 1922 году немецкие физики Отто Штерн и Вальтер Герлах, экспериментально подтвердили наличие у атомов собственного момента импульса, т.е. спина.

Опыт Штерна–Герлаха состоит в следующем: пучки атомов серебра, а потом и других атомов, пропускали через сильно неоднородное магнитное поле, создаваемое мощным постоянным магнитом. Поскольку атомы большинства элементов обладают собственными моментами импульса и, следовательно, магнитными моментами, то на них действовала сила, пропорциональная проекции спина на направление магнитного поля, вследствие чего атомы отклонялись от первоначального направления движения.

Оказалось, что первоначальный пучок атомов всегда разделялся на несколько пучков, при условии, что магнитные моменты атомов не равны нулю. В частности,  пучок атомов серебра разделялся на два пучка.

Отсюда следует, что проекция магнитных моментов и, следовательно, спинов атомов на направление, выделенное магнитным полем, имеет дискретный спектр.

Этот результат противоречит предсказаниям классической теории. Согласно классическим представлениям проекция момента импульса на направление магнитного поля должна иметь бесчисленное множество значений, иначе говоря, характеризоваться  непрерывным спектром, т.к. первоначально магнитные моменты атомов ориентированы хаотично (непрерывно), а после прохождения через магнитное поле, хаотичность (непрерывность) должна сохраниться.

Итак, опыт Штерна–Герлаха подтвердил положение квантово-механической теории о квантовании собственного момента импульса атомов.

Позже уже одному Штерну удалось получить аналогичные результаты для пучков протонов и электронов.  А именно, пучок электронов или протонов в опытах Штерна-Герлаха, расщепляется так же, как в случае атомов серебра, на два пучка.

Далее мы будем иметь в виду электроны, но, очевидно, что все результаты можно будет дословно повторить для любых систем со спином ½.

2.  Принцип суперпозиции.

В опыте Штерна-Герлаха можно получить два пучка электронов с противоположно ориентированными спинами. Далее, можно поставить перед одним из пучков поглощающую перегородку и тогда останется лишь один пучок, где спины электронов ориентированы вдоль некоторого одного направления.

Иначе говоря, можно приготовить пучок электронов, или даже единственный электрон, поляризованный в некотором направлении, это значит, что  проекция спина электронов(-а) на направление, выделенное магнитным полем, равна ħ/2.

Для того, чтобы охарактеризовать поляризацию, достаточно задать направление поляризации, например, вектором гильбертова пространства:

 

|d› = (cosθ/2)|е1› + (е · sinθ/2)|е2›,

 

здесь |е1›, |е2› — ортонормированный базис.

Не уменьшая общности, можно взять в качестве базиса два направления: вдоль оси Z, когда θ = 0º и в противоположном направлении, когда θ = 180º. Обозначим эти направления через |z+› и |z› соответственно.  

|z+› и |z-›, очевидно, тоже составляют ортонормированный базис.

И тогда можно записать:

 

|d› = (cosθ/2)|z+› + (е · sinθ/2)|z›,

 

Теперь проинтерпретируем это равенство с позиций опыта Штерна-Герлаха.

Сначала с помощью прибора Штерна-Герлаха был подготовлен пучок электронов, поляризованный, вдоль направления |d›, причём угол между осью Z и осью поляризации равен θ. Затем полученный пучок электронов был разделён прибором Штерна-Герлаха на два пучка, поляризованных по направлениям |z+› и |z-›.

Более того, если бы электроны пускались по одному, то, всё равно, каждый электрон с некоторой вероятностью оказывался бы или в состоянии |z+›, или в состоянии |z›.

И получается, что состояние |d› содержит и состояние |z+›, и состояние |z›, если только θ ≠ 0º или θ ≠ 180º.

Следует особо подчеркнуть, что состояния |z+›, и |z› являются взаимоисключающими, поэтому с позиций классической физики они не могут быть объединены в одно состояние.

В квантовой механике взаимоисключающие состояния сводятся в одно на основе принципа суперпозиции:

Если квантово–механическая система может находиться в состояниях |z+›, |z›, то линейная комбинация

 

|d› = с1|z+› + с2|z›,

 

где с1, с2 некоторые комплексные числа, тоже описывает какое-то состояние квантово–механической системы.

Направление поляризации могут задавать только  нормированные на единицу векторы, т.е. требуется, чтобы

 

‹d|d›= |с1|2 + |с2|2 = 1.

 

И вообще, если квантово–механическая система может находиться в состояниях |а1›, |а2›…..|аm›, то линейная комбинация


|d› = α1|а1› + α2|а2› + … + αm|аm›,


здесь α1, α2 , …, αm  — некоторые комплексные числа, а m — любое натуральное число, тоже описывает, после нормировки на единицу, какое-то состояние этой же системы.

Продолжение

©   А.А.Дмитриевский.