Вы здесь

Описание направлений и поворотов в трёхмерном пространстве. V

 

Приведённые ниже текст является частью книги «Первый шаг в квантовую реальность».

Чтобы скачать полный текст, пройдите по ссылке.

 

Назад     Вперёд    

11. Чем похожи и чем различаются комплексные числа и кватернионы.

Операции умножения кватерниона на число, сложения и вычитания кватернионов выполняются точно так же, как соответствующие операции с комплексными числами. Единственное различие, — вместо одной комплексной единицы есть три.

Так же как комплексные числа, кватернионы допускают сопряжение; а именно, кватернионы

 

q = a + bi  + cj + dk  и  q* =  a bi cj dk   

 

взаимно сопряжены.

 

r2 = q q* = q*q = a2 + b2 + c2 +  d,

 

где r   — называется модулем кватерниона.

Очевидно, деление возможно на любой кватернион, у которого модуль не равен нулю.

А далее аналогия заканчивается: произведение кватернионов зависит, в общем случае, от их порядка:  q1 q2 q2 q1 .

Поэтому следует различать левое и правое частное:

 

хл = (q1/q2)л = q2*q1/q2*q2 = q2*q1/r22,

хпр = (q1/q2)пр = q1q2*/q2*q2 = q1q2*/r22.

 

Наконец, при сопряжении произведения кватернионов необходимо следить за порядком произведения сомножителей:

 

(q1q2)* = q2*q1* ≠ q1*q2*.

 

Т.е. в результате сопряжения сомножители-кватернионы оказываются не только сопряжёнными, но, так же как и матрицы, меняют порядок следования на обратный. Это не удивляет, потому что кватернионы, по сути, те же матрицы.

Очевидно, что любой кватернион q можно записать в следующем виде: q = а + p, где   а —действительная (скалярная) часть кватерниона, а  p — чисто мнимый (векторный) кватернион, квадрат которого меньше или равен нулю:

 

p2 = (bi + cj + dk)2 = – (b2 + c2 + d2) ≤ 0.

 

12. Описание направлений и поворотов с помощью кватернионов.

Чисто мнимые (векторные) кватернионы

 

p = xi + yj + zk 

 

с единичным модулем, r = 1, задают направления точно так же, как декартовы координаты x, y, z.

Кватернион p можно представить в матричном виде p = ixσx + iyσy + izσz = iP, здесь

 

 

 

а через i  везде, где встречаются матричные выражения, обозначена обычная мнимая единица, входящая в состав комплексных чисел.

Внимание! Здесь пересечение обозначений. Там, где матрицы i  — обычная, комплексная мнимая единица. Там, где кватернионы i — кватернионная мнимая единица. Если быть внимательным, то пересечение обозначений не приводит к ошибкам, зато сохраняются удобства, — можно пользоваться общепринятыми обозначениями.

Оказывается, что матрица iP,  и, следовательно, матрица P преобразуются при поворотах трёхмерного пространства точно так же, как матрица проектирования, а именно:

 

 P′ = UPU,

 

Соответствующее выражение для кватерниона p принимает следующий  вид:

 

p′ = upu*,  

 

здесь u — один из кватернионов:

 

ux(φ/2) = cosφ/2 + i sinφ/2 ,

uy(φ/2) = cosφ/2 + j sinφ/2 ,

uz(φ/2) = cosφ/2 + k sinφ/2 ,

 

которые получились преобразованием матриц UХ(φ/2), UY(φ/2) и UZ(φ/2), в кватернионы.

Убедимся, что это действительно так, для чего  произведём вычисления согласно выражению p′ = ux(φ/2)pux*(φ/2) непосредственно:

 

p′ =  xi + yj + zk  =

(cosφ/2 + i sinφ/2)(xi + yj + zk) (cosφ/2 – i sinφ/2) =

xi(cosφ/2 + i sinφ/2)(cosφ/2 – i sinφ/2)+

y(cosφ/2 + i sinφ/2)j(cosφ/2 – i sinφ/2) + 

z(cosφ/2 + i sinφ/2)k(cosφ/2 – i sinφ/2) =

xi(cos2φ/2 + sin2φ/2) +

y(j cosφ/2 + k sinφ/2)(cosφ/2 – i sinφ/2) + 

z(k cosφ/2 – j sinφ/2) (cosφ/2 – i sinφ/2) =

xi + yj cos2φ/2 + yk sinφ/2cosφ/2 +

yk sinφ/2cosφ/2 – yj sin2φ/2  + zk cos2φ/2 –

zj sinφ/2 cosφ/2 – zj sinφ/2 cosφ/2 – zk sin2φ/2 =

xi + yj(cos2φ/2 – sin2φ/2) + 2yk sinφ/2cosφ/2 +

 zk(cos2φ/2 – sin 2φ/2) – 2zj sinφ/2 cosφ/2 =

xi + (ycosφzsinφ)j +  (ysinφ + zcosφ)k.

 

Отсюда следует преобразование:

x′ = x ,

y′ = y cosφz sinφ,

z′ =  y sinφ z cosφ.

с матрицей RX(φ).

Это значит, что преобразование p′ = ux(φ/2)pux*(φ/2) изображает поворот в трёхмерном пространстве вокруг оси Ох против часовой стрелки, изображаемый матрицей RX(φ).

Аналогичные результаты получаются для двух других преобразований: преобразованию p′ = uy(φ/2)puy*(φ/2)  соответствует матрица RY(φ), а преобразованию p′ = uz(φ/2)puz*(φ/2) соответствует матрица RZ(φ).

Назад     Вперёд

©   А. А. Дмитриевский.