4.

Среди работ Лобачевского, не относящихся к геометрии, имеется одна весьма интересная, близкая по своему содержанию к общей астрономической проблематике. Название ее — «О вероятности средних результатов, полученных из повторных наблюдений». Статья была напечатана в 1842 г. в 42-м томе «Журнала Крелля», рядом со статьями корифеев математики той эпохи: Дирихле, Якоби, Штейнера. В ней рассматривается вопрос о том, с какой вероятностью можно ожидать, что при суммировании нескольких величин, из которых каждая отягчена случайной погрешностью, в сумме произойдет та или иная компенсация этих погрешностей1. Таким   образом,   Лобачевский   решает здесь классическую задачу о вероятности отклонения суммы случайных переменных от ее среднего значения. Лаплас посвятил этой проблеме важнейшие части своей «Аналитической теории вероятностей» (1812). Но он делал здесь переход к случаю бесконечного числа наблюдений, откуда и получал закон, впоследствии названный «законом нормального распределения». Лобачевский так не поступает: он выводит формулу для вероятности данного результирующего отклонения для суммы конечного числа случайных переменных.

«Лаплас, — говорит он, — в своей «Аналитической теории вероятностей» занимался в сущности только случаем очень большого числа наблюдений. При помощи чрезвычайно сложных соображений и пользуясь всегда определенными интегралами, он пришел к выражениям, вполне совпадающим с теми, которые мы здесь только что вывели»2. Свою формулу для любого конечного числа наблюдений Лобачевский иллюстрирует таблицей для случая, когда это число n = 10; его численные результаты представлены во втором столбце следующей таблицы:

Р₁₀(х)

Значения Р₁₀(х) представляют вероятность, что погрешность среднего из 10 наблюдений не выйдет за пределы ± x если наибольшая погрешность каждого наблюдения заключена в пределах ±1. Отсюда Лобачевский заключает, что вероятность компенсации погрешностей не мала; например, «можно поставить 18 против 7, — говорит он, — что ошибка в среднем не превысит одной пятой той наибольшей ошибки, которой может сопровождаться каждое отдельное наблюдение»3.

К этим теоретическим исследованиям Лобачевский добавил в «Новых началах» (§ 165) несколько замечаний практического характера; из них вытекает, что, говоря о погрешностях наблюдений, он имел в виду прежде всего наблюдения астрономические (он останавливается здесь на «повторительных кругах» и на выгоде их «для орудий малого размера»). Не была ли поэтому рассматриваемая нами работа только частью некоего более обширного замысла: назначить вероятные ошибки тех определений и тех выводов, которыми он пользовался в работе 1829 г. в своих построениях космической геометрии? Или, быть может, Лобачевский только вновь возвращался здесь к тем задачам повседневной практики астрономических наблюдений и их обработки, к которым он был столь близок в оставшиеся уже далеко позади годы преподавания астрономии?

• 1. Статья Лобачевского помещена в «CrelIes Journal», 24 (1842). стр. 164 — 170. Происхождение ее таково. В работе «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» имеются две обширные главы, XII и XIII (казанское издание Трудов, 1883, т. 1, стр. 370 — 480) под названиями: «Решение прямолинейных прямоугольных треугольников» и «Решение сферических прямоугольных треугольников». Здесь Лобачевский на множестве примеров, сопровождаемых подробными численными выкладками, изучает вопрос о точности определения элементов треугольников в зависимости от условий задания других элементов. Всего рассмотрено более 40 различных случаев; при этом предполагается, что вычисления производятся с логарифмами и что логарифмы имеют погрешность в ½ единицы последнего (седьмого) знака. Но в одном месте этого изложения (стр. 428) Лобачевский как бы прерывает его и говорит: «Назначая точность вычисления, мы предполагали все случаи неблагоприятными, тогда как ошибки в их соединении могут быть одна другой противными, следовательно частью по крайней мере уничтожаться...» Дальнейшие страницы этой работы (стр. 428 — 438) и посвящены вычислению вероятности той или иной компенсации этих случайных погрешностей. Именно эти страницы из работы «Новые начала геометрии», с некоторыми дополнениями и вариантами, перешли в статью «Вероятность средних результатов». Заметим, что обе главы о треугольниках были напечатаны в 1838 г. в «Ученых записках Казанского университета»; тогда же Лобачевский послал Креллю, члену Берлинской академии наук для напечатания в издаваемом им математическом журнале и ту статью, которая появилась лишь четыре года спустя на страницах этого журнала (см. Л. Б. Модзалевский, ук. соч., стр. 498). Насколько нам известно, эта статья никем еще не была детально комментирована.
• 2. «Crelles Journal». Bd. 24, 1842, S. 169.
• 3. Действительно, P₁₀ (x) = 0,72 при х = 0,2; поэтому вероятность отклонения, не превышающего 0,2, относится к вероятности большего отклонения, как 0,72 и 0,28 или как 18 к 7. Заметим, что Лобачевский дает свою таблицу с точностью до пяти знаков после запятой; против х = 0,4 у него стоит 0,96179, тогда как правильное число есть 0,97295. В третьем столбце таблицы мы приводим те же вероятности, вычисленные посредством интеграла Лапласа, считая при этом сумму десяти слагаемых случайной переменной, подчиненной по вероятности нормальному зσакону, со средним значением, равным нулю, с дисперсией σ² = 10/3 (см. книгу Н. И. Идельсон. «Способ наименьших квадратов», 1947, стр. 252). Поэтому нормированное уклонение вычисляется по формуле t = k √3/10 = 0,5477k (где k = 10, 9, ... 2, 1). Найденное по этому аргументу значение интеграла Лапласа нужно удвоить, чтобы получить искомую вероятность. Результаты, найденные по формуле Лобачевского и посредством интеграла Лапласа, отличаются не очень значительно, как видно из приведенной в тексте таблицы.