Обозначили через х сумму углов произвольного треугольника. Но в момент доказательства нам ничего не было известно о сумме углов треугольника. Нет никаких оснований полагать, что эта сумма одна и та же для всех треугольников, в частности для треугольников АВС, АВD, DВС. Фактически незаметно мы использовали новую аксиому, которая заранее не была включена в систему аксиом, а именно: «Сумма углов во всяком треугольнике есть величина постоянная». Эта аксиома, естественно, не имеет никаких преимуществ перед аксиомой параллельности (или пятым постулатом Евклида). Аналогичную ошибку допускали и те математики, которые пытались доказать пятый постулат Евклида: не замечая этого, они использовали в ходе доказательства какой-нибудь факт, не включенный заранее в систему аксиом. Правда, там речь шла о значительно более сложных, чем в нашем случае, доказательствах и заметить логическую ошибку было очень трудно. Возвращаясь к рассмотренному нами ошибочному доказательству, заметим, что предложение «Сумма углов во всяком треугольнике есть величина постоянная» является эквивалентом пятого постулата. Таким образом, мы пытались доказать пятый постулат, используя предложение, эквивалентное пятому постулату. Переходите к изучению §37.
Добавить комментарий