Вы здесь

Спин ½ и дальнейшие обобщения. VIII

 

Приведённые ниже текст является частью книги «Первый шаг в квантовую реальность».

Чтобы скачать полный текст, пройдите по ссылке.

 

Назад

14. Оператор и матрица плотности.

Оператором плотности называется проектор

 

= |d›‹d|,

 

при условии, что вектор состояния |d› нормирован на единицу, ‹d|d› = 1.

Отсюда понятно, что операторы плотности, точно так же как векторы состояний пригодны для полноценного описания квантово–механических систем.

Очевидно, что

 

 2 =(|d›‹d|)·(|d›‹d|)=|d›‹d|d›‹d| = |d›·1·‹d| = .

 

В отличие от векторов состояний, которые определёны с точностью до произвольного комплексного множителя с единичным модулем, операторы плотности не обладает аналогичным произволом, т.к. если |d′› = е|d›, то ‹d′| = е‹d| и  = .

Теперь, чтобы наглядно проиллюстрировать вычисления, снова вернёмся к двумерному гильбертову пространству.

Соответствующая матрица в некотором ортонормированном базисе |е1›, |е2› такова:

 

D ij = ‹еi|j› = ‹еi|d›‹d|еj› = di · (dj)*,      i, j  = 1, 2.

 

Естественно, что матрица D ij называется матрицей плотности.

Определение.

SpD — след матрицы D, иначе говоря, сумма диагональных элементов, матрицы D. Обозначение возникло от немецкого Spur — след. Иногда применяется обозначение TrD, происходящее от английского Trace — след.

Вычислим SpD в некотором полном ортонормированном базисе |е1›, |е2›:

 

SpD = D11 + D22 = ‹е1|d›‹d|е1› + ‹е2|d›‹d|е2› =

‹d|е1›‹е1|d› + ‹d|е2›‹е2|d› =‹d|(|е1›‹е1| + |е2›‹е2|)|d› = ‹d||d› = ‹d|d› = 1.

 

Итак, условие нормировки вектора состояния |d› на единицу, ‹d|d› = 1, эквивалентно равенству:

 

SpD =1.

 

Выразим теперь среднее значение физической величины Q при условии, что квантово–механическая система находится в состоянии |d›.

Как известно,

 

Qср = ‹d||d›.

 

Поэтому

 

Qср = ‹d|(|е1›‹е1| + |е2›‹е2|)(|е1›‹е1| + |е2›‹е2|)|d›

 

В этой сумме четыре слагаемых:

 

‹d|еi›‹еi|j›‹еj|d› = ‹еi |j›‹еj|d›‹d|еi › =

‹еi|j›‹еj|i› = Q ij · D ji = D ji · Qij ,   i, j  = 1, 2.

 

Поэтому

 

 

Аналогично Qср = Sp(DQ), т.е.

 

Qср = Sp(QD) = Sp(DQ).

 

Вычислим теперь среднее значение оператора плотности  = |b›‹b| при условии, что квантово–механическая система находится в состоянии |d›:

 

Вср = ‹d||d› = Sp(ВD) = Sp(DВ).

 

С другой стороны, известно, что

 

Вср = ‹d||d› =  ‹d|b›‹b|d› = |‹b|d›|2 = Р.

 

Отсюда

 

Р = Sp(ВD) = Sp(DВ).

 

Здесь — Р вероятность того, что физическая величина В примет значение b, при условии, что физическая величина D имеет вполне определённое значение d.

Итак, матрица плотности позволяет вычислять вероятности перехода из одного состояния в другое и средние значения физических величин. Поэтому матрицы плотности, также  как и векторы состояний, пригодны для полноценного описания квантово–механических систем.

Оказывается, возможности применения матриц плотности даже шире, чем у векторов состояния, — матрицы плотности применимы для описания статистических ансамблей квантово–механических систем.

Наконец, для системы со спином ½ , поляризованной в направлении вектора d с направляющими косинусами n = sinθ cosφ, m = sinθ sinφ, k = cosθ, матрица плотности имеет вид:

 

 

 

Назад

©   А. А. Дмитриевский.