Приведённые ниже текст является частью книги «Первый шаг в квантовую реальность».
Чтобы скачать полный текст, пройдите по ссылке.
Назад Вперёд
12. Волновые функции в случае дискретного спектра.
Рассмотрим сначала простейшую ситуацию: волновые функции в двумерном гильбертовом пространстве.
В формализме Дирака состояние квантово–механической системы характеризует вектор, принадлежащий гильбертову пространству.
Введём ещё одно гильбертово пространство, элементами которого являются не сами векторы, а упорядоченные пары чисел, составленные из компонент векторов, определённых в некотором фиксированном базисе.
Такие пары чисел и есть волновые функции в двумерном случае. Мы уже встречались с ними, — спиноры являются типичными волновыми функциями, которые при дальнейшем развитии теории приводят к спинорному исчислению. Но, оказывается, есть ещё одна возможность описания квантово–механической реальности, основанная на волновых функциях.
Итак, будем считать, что
— каждому вектору двумерного гильбертова пространства |d› = d1|е1› + d2|е2›, здесь |е1›, |е2› некоторый полный ортонормированный базис в этом пространстве, соответствует волновая функция d, которая представляет собой два упорядоченных комплексных числа d = d(d1, d2),
— для двух любых волновых функций d = d(d1, d2) и b = b(b1, b2) определено скалярное произведение:
‹b|d› = b1* · d1 + b2* · d2 = 
,
отсюда понятно, что выражение ‹b|d› можно интерпретировать как скалярное произведение комплексно сопряжённой волновой функции b* = b*(b1*, b2*) и волновой функции d = d(d1, d2).
— векторам полного ортонормированного базиса |е1› и |е2› соответствуют волновые функции ψ1 и ψ2 , тоже составляющие полный ортонормированный базис
‹ψi|ψj› = δij , i , j = 1, 2,
поэтому любую волновую функцию d можно представить в виде линейной комбинации базисных функций:
d = d1 · ψ1 + d2 · ψ2 .
Отсюда понятно, что формулы для волновых функций полностью совпадают с точностью до обозначений с соответствующими формулами для векторов состояний.
А теперь только для волновых функций введём дополнительное правило:
Любой линейный оператор 
действует на волновую функцию, стоящую справа, действие оператора на волновую функцию, стоящую слева не определено, при этом у оператора будем убирать правую перегородку, чтобы было понятно, на какую именно волновую функцию действует оператор.
Рассмотрим переход от записи формул для векторов состояний в формализме Дирака (слева от стрелки) к записи формул для волновых функций (справа от стрелки):
‹b||d› → ‹b|d›,
‹b||d› = (‹b||)††|d› = (|†|b›)†|d› → (|†b›)†|d› = ‹†b|d›.
Отсюда следует, что
‹b|d› = ‹†b|d›,
Итак, при пересечении черты оператор превращается в эрмитово сопряжённый.
А если оператор является эрмитовым, т. е. † =, тогда
‹b|d› = ‹b|d›.
Нетрудно сделать соответствующие обобщения на случай любого дискретного конечного спектра или на случай дискретного бесконечного спектра; но при этом следует признать, что выгода от введения волновых функций невелика.
Оказывается, что волновые функции особенно удобны лишь в случае непрерывного спектра.
Последние комментарии