Вы здесь

Спин ½ и дальнейшие обобщения. IV

 

Приведённые ниже текст является частью книги «Первый шаг в квантовую реальность».

Чтобы скачать полный текст, пройдите по ссылке.

 

Назад    Вперёд

7. Среднее значение физической величины и необходимость нормировки векторов состояний. 

Пусть некоторая физическая величина Q изображается эрмитовым оператором

 

 = λ1|q1›‹q1| + λ2|q2›‹q2|,

 

Здесь λ1 и λ2 — значения, которые принимает физическая величина, а |q1› и |q2› — соответствующие им собственные векторы оператора ,  которые составляют полный ортонормированный базис в двумерном гильбертовом пространстве.

Вычислим, чему равно среднее значение величины Q, если квантово–механическая система находится в состоянии |d›. Воспользуемся условием полноты базиса и запишем:

 

|d› = |q1›‹q1|d› + |q2›‹q2|d›.

 

Поэтому система, первоначально находящаяся в состоянии |d›, окажется с вероятностью P1 = |‹q1|d›|2 в состоянии |q1› и, следовательно, величина Q примет значение λ1. Аналогично для второго состояния. Поэтому

 

Qср = λ1 · P1 + λ2 · P= λ1|‹q1|d›|2 + λ2|‹q2|d›|2 = λ1 ‹d|q1›‹q1|d› + λ2‹d|q2›‹q2|d› = ‹d|(λ1|q1›‹q1| + λ2|q2›‹q2|)|d› = ‹d||d›.

 

Итак, среднее значение физической величины Q, при условии, что квантово–механическая система находится в состоянии |d›, определяется простой формулой:

 

Qср = ‹d||d›.

 

И ещё.

То, что физическая величина Q при измерении принимает одно из допустимых значений q1 или q2, — событие достоверное, вероятность которого согласно теории вероятностей должна быть равна единице:

 

Р1 + Р=  |‹q1|d›|2 +|‹q2|d›|2 = ‹d|q1›‹q1|d› + ‹d|q2›‹q2|d› = ‹d|(|q1›‹q1| + |q2›‹q2|)|d› = ‹d|d› = 1,

 

здесь dk — коэффициенты разложения вектора |d› по базису |q1›, |q2›.

Это значит, что физический смысл имеют лишь векторы состояний, нормированные на единицу.

В процессе решения задач векторы состояний получаются ненормированными, и поэтому их нормируют. А именно, если ненулевой вектор |b› не нормирован, т.е.  ‹b|b›= β2 ≠ 1, то вектор (1/β)|b›, наоборот, нормирован.

8. Формальное единообразие описания квантово–механических систем.

Оказывается, что вся квантовая механика, если иметь в виду её формальную сторону, строится единообразно, причём основные её черты проявляются уже в случае спина ½.

Это не должно удивлять.

При аналитическом изложении классической механики все степени свободы тоже описываются единообразно, и не важно, сколько степеней свободы есть у классической системы, одна степень или целых сто.

Следовательно, можно взять за образец систему со спином ½  и распространять её свойства на более сложные ситуации. Но при этом к уже известным нам особенностям описания квантово-механической реальности добавляются некоторые существенные детали.

Теперь рассмотрим очень кратко, что конкретно добавляется.

9. Обобщение на случай конечного дискретного спектра.

Для начала рассмотрим обобщение на тот случай, когда физическая величина принимает не два значения, как при спине ½, а любое конечное число значений большее двух:  n>2.

Если в случае спина ½ размерность гильбертова пространства была равна двум, то теперь она будет равна n>2, и столько же векторов будет в ортонормированном базисе, если отсутствует вырождение (о вырождении см. далее).

Поэтому там, где какой-то индекс изменялся от 1 до 2, аналогичный индекс будет изменяться от 1 до n.

Например, при n>2

— условия ортонормированности и полноты базиса гильбертова пространства принимают вид:

 

‹еij› = δij,   i, j = 1, 2 … n,

 

  = |е1›‹е1| + |е2›‹е2| +… + |еn›‹еn| = | = .

 

— любой вектор |b› гильбертова пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов полного ортонормированного базиса

 

 

здесь bj = ‹еj |b›, потому что

 

 

— условие нормировки вектора состояния на единицу:

 

 

Т.е. практически всё, если иметь в виду формальную сторону, дословно переносится из случая n=2  на случай n>2.

Теперь несколько слов о вырождении.

Может оказаться, что у характеристического уравнения эрмитового оператора, изображающего физическую величину, какой-то корень получится кратным. Это значит, что данному собственному значению соответствует не один, а несколько собственных векторов; их в точности столько, какова кратность корня. Образно говоря, собственные значения, как бы «слиплись» в одно значение, но число собственных векторов осталось неизменным.

Собственные векторы, соответствующие одному и тому же собственному значению, в процессе решения получаются, как правило, и не нормированными, и не ортогональными; их можно сделать и нормированными, и ортогональными, в линейной алгебре изучается приём ортогонализации таких векторов.

Вырождение — не математический казус. Совпадающие, «слипшиеся» собственные значения при дополнительных воздействиях на квантово–механическую систему могут стать различными, что проявится в наблюдениях, иначе говоря, при определённых условиях вырождение может сниматься.

Назад    Вперёд

©   А. А. Дмитриевский.