Таблица операций.
Сначала рассмотрим совместно арифметическую и геометрическую прогрессию:
|
Арифметическая прогрессия |
1∙ d |
2∙ d |
3∙ d |
4∙ d |
… |
|
Геометрическая прогрессия |
q1 |
q2 |
q3 |
q4 |
… |
Здесь d — шаг (разность) арифметической прогрессии, q — знаменатель геометрической прогрессии.
Очевидно, что:
(1∙ d)+(2∙ d)= (1+2) ∙ d = 3∙ d,
q1 ∙ q2 = q1+2 = q3. И т.п.
Первое равенство выражает не что иное, как дистрибутивность умножения чисел, второе равенство, — основное свойство показательной функции. Поэтому равенства справедливы для любых действительных чисел α и β:
(α ∙ d)+( β ∙ d)= (α + β) ∙ d,
qα ∙ qβ = qα + β .
Отсюда следует утверждение: сложению на уровне арифметической прогрессии соответствует умножение на уровне геометрической прогрессии.
Теперь обратимся к закону Вебера–Фехнера.
Что имеет отношение к арифметической прогрессии? — звёздные величины, выражающие интенсивность ощущений.
Что имеет отношение к геометрической прогрессии? — блеск небесного объекта.
Отсюда получаем простое правило: если звёздные величины складываются, то соответствующие им значения блеска перемножаются.
Из этого правила получаются производные, дополнительные правила. Как известно,
— вычитание обратно сложению, а деление обратно умножению, поэтому если звёздные величины вычитаются, то соответствующие им значения блеска делятся,
— умножение является многократным сложением, а возведение в степень многократным умножением, поэтому, если звёздная величина умножается на какое-то число n, то соответствующее им значение блеска возводится в n-ую степень.
— деление обратно умножению, а извлечение корня обратно возведению в степень, поэтому если звёздная величина делится на какое-то число n, то из соответствующего ей значения блеска извлекается корень n–ой степени.
И ещё. В дополнение к этим правилам следует помнить, что, согласно Гиппарху, чем ярче звезда, тем меньше её звёздная величина.
Все эти правила полезно представить в таблице, которую будем называть таблицей операций:
|
Звездная величина, обозначение m |
Блеск (отношение блесков), обозначение I |
||
|
m1 + m2 |
Сложение |
I1 ∙ I2 |
Умножение |
|
m1 – m2 |
Вычитание |
I1 : I2 |
Деление |
|
m ∙ n |
Умножение |
In |
Возведение в степень |
|
m/n |
Деление |
n√I |
Извлечение корня |
|
Чем ярче небесный объект, тем меньше его звёздная величина. |
|||
Таблица значений.
Пока нам известно лишь предложение Погсона:
5 зв. величин ↔ 100.
Определим, какому блеску (отношению блесков) соответствует одна звёздная величина. Обозначим это число через X, тогда
1+1+1+1+1= 5 ↔ 100=X∙ X∙ X∙ X∙ X = X5.
Отсюда Х равно корню пятой степени из 100, т.е. 2,512…
Продолжаем:
1+1=2 ↔ 2,512 ∙ 2,512=6,310≈6,3;
1:10=0,1↔корень десятой степени из 2,512, что примерно равно 1,0965≈1,1.
Наши вычисления приближённые, поэтому в дальнейшем примем Х≈2,5.
5–1=4↔100: 2,5= 40;
4–1=3↔40: 2,5= 16;
3:2=1,5↔√16= 4;
1,5:2=0,75↔√4=2;
5:2= 2,5 ↔ √100= 10;
0,1+0,1= 0,2↔1,1∙ 1,1≈1,2
И т.д.
Отсюда имеем таблицу значений:
|
Звездная величина |
Блеск (отношение блесков) |
|
0,1 |
1,1 |
|
0,2 |
1,2 |
|
0,5 |
1,6 |
|
0,75 |
2 |
|
1 |
2,5 |
|
1.5 |
4 |
|
2 |
6,3 |
|
2,5 |
10 |
|
3 |
16 |
|
4 |
40 |
|
5 |
100 |
|
10 |
10.000 |
Здесь красным цветом помечены соответствия, которые нужно запомнить. Всё остальное при необходимости можно легко восстановить, применив таблицу операций.
В следующем сообщении будут приведены примеры устного решения задач со звёздными величинами с применением таблицы операций и таблицы значений.
Последние комментарии