Вы здесь

Комплексные числа и повороты на плоскости. VI

 

Приведённые ниже текст является частью книги «Первый шаг в квантовую реальность».

Чтобы скачать полный текст, пройдите по ссылке.

 

Назад

11. Активная и пассивная интерпретация формул поворота.

Вот формулы, описывающие поворот точек плоскости на угол φ относительно начала координат:

x = x cosφ y sinφ,

y′ = x sinφ + y cosφ.

Такая интерпретация формул называется активной.

Возможна пассивная интерпретация этих же формул, когда принимается, что точки плоскости остаются неизменными, а система координат поворачивается на угол φ, вследствие чего координаты точек меняются.

Очевидное обобщение: активная и пассивная интерпретация применима вообще к любым преобразованиям, — и к линейным, и к нелинейным.

12. Две разные интерпретации комплексных чисел.

Наверное, возможно бесчисленное множество интерпретаций комплексных чисел.

Вот классическая интерпретация.

Комплексное число z = a + ib представляется в виде точки комплексной плоскости, причём a является абсциссой, а b ординатой.

Модуль r и аргумент φ комплексного числа при такой интерпретации, оказываются полярными координатами на комплексной плоскости, поскольку связаны с декартовыми координатами следующими соотношениями:

a = r cosφ,  b = r sinφ.

Выше мы рассмотрели  иную интерпретацию комплексных чисел: аргумент задаёт угол поворота точек плоскости или систем координат (см. активная и пассивная интерпретация формул поворота), а модуль при r 1 изменяет масштаб.

13. Угол между направлениями.

Исходим из формулы:

cos(φ – ψ) = cosφ cosψ + sinφ sinψ

Пусть

Тогда, полагая α = φψ,  получим:

Возможные интерпретации формулы:

— вычисляется угол между двумя векторами на плоскости по их декартовым компонентам  и  .

— вычисляется угол между двумя лучами на плоскости, проведёнными из начала координат и проходящими через точки  и .

Эта формула допускает обобщение на случай трёхмерного пространства:

© А. А. Дмитриевский

Назад