Приведённые ниже текст является частью книги «Первый шаг в квантовую реальность».
Чтобы скачать полный текст, пройдите по ссылке.
4. Дуальные числа.
Снова вернёмся к матричному уравнению
.
Но теперь рассмотрим случай, когда дискриминант равен нулю, 
.
Выделяем, как обычно, полный квадрат
и получаем:
Оказывается, существуют ненулевые матрицы, квадрат которых равен нулю, например:
В конечном итоге приходим к дуальным числам такого вида:
.
Здесь 
и 
некоторые действительные числа.
Модуль дуального числа равен 
. Он вводится аналогично тому, как вводились модули двойных и комплексных чисел.
Алгебраические операции с дуальными числами в точности подобны действиям с комплексными или с двойными числами. Единственное отличие: везде, где встретится ε2, полагаем ε2 = 0.
Деление на дуальные числа вида 
, т.е. на те у которых = 0, невозможно, что ограничивает область применимости дуальных чисел по сравнению с комплексными.
Тем не менее, и двойные, и дуальные числа всё же нашли своё применение в математике (см. И.М.Яглом Комплексные числа и их применение в геометрии. М.:Физматлит, 1963.).
5. Комплексные числа — это особые матрицы.
Если дискриминант матричного уравнения 
то решение уравнения принимает вид:
Из числа, равного минус единице, квадратный корень не извлекается, а из единичной матрицы, умноженной на минус единицу, извлечение корня вполне возможно. Например, 
, где
Поэтому решением квадратного матричного уравнения являются матрицы вида
Единичная матрица при умножении играет роль единицы, поэтому выполняя алгебраические преобразования, можно её вообще опускать. Из равенства следует, что там где встретится 
, можно просто писать минус единицу.
В результате приходим к общепринятой записи вычислений с комплексными числами, — всё точно так, как если бы мы вводили комплексные числа традиционным способом.
Что касается комплексных чисел, то, они применяются настолько широко, что, наверное, будет проще сказать, где они не применяются.
В дальнейшем изложении будут встречаться только комплексные числа.
Комментарии (2)
Минус в матрице
Не баг и не фича
Квадрат матрицы получается согласно правилу умножения матриц, в результате получается единичная матрица, умноженная на минус единицу.
Можно, если хотите, взять в качестве мнимоединичной матрицы такую: в верхней строке 0 и -1, а в нижней 1 и 0. По существу ничего не изменится, потому что квадрат такой матрицы тоже будет равен единичной матрице, умноженной на минус единицу.