Закон Ома для однородного участка цепи, все точки которого имеют одинаковую температуру, выражается формулой (в современных обозначениях):
В таком виде формула закона Ома справедлива только для проводников конечной длины, так как входящие в это выражение величины I и U измеряются приборами, включенными на этом участке.
Сопротивление R участка цепи зависит от длины l этого участка, поперечного сечения S и удельного сопротивления проводника ρ. Зависимость сопротивления от материала проводника и его геометрических размеров выражается формулой:
которая справедлива только для проводников постоянного сечения. Для проводников переменного сечения соответствующая формула не будет столь простой. В проводнике переменного сечения сила тока в различных сечениях будет одинаковой, однако плотность тока будет разной не только в различных сечениях, но даже и в различных точках одного и того же сечения. Различное значение будет иметь и напряженность, а, следовательно, и разность потенциалов на концах различных элементарных участков. Усредненные значения I, U и R по всему объему проводника не дают информации об электрических свойствах проводника в каждой его точке.
Для успешного изучения электрических цепей необходимо получить выражение закона Ома в дифференциальной форме с тем, чтобы оно выполнялось в любой точке проводника любой формы и любых размеров.
Зная связь напряженности электрического поля с разностью потенциалов на концах некоторого участка 
, зависимость сопротивления проводника от его размеров и материала и используя закон Ома для однородного участка цепи в интегральной форме 
найдем:
Обозначив 
где σ — удельная электропроводность вещества, из которого сделан проводник, получим:
где 
— плотность тока. Плотность тока — это вектор, направление которого совпадает с направлением вектора скорости перемещения положительных зарядов. Полученное выражение в векторной форме будет иметь вид:
Оно выполняется в любой точке проводника, по которому течет электрический ток. Для замкнутой цепи следует учесть тот факт, что в ней, кроме напряженности поля кулоновских сил, действуют сторонние силы, создающие поле сторонних сил, характеризующееся напряженностью Ест. С учетом этого закон Ома для замкнутой цепи в дифференциальной форме будет иметь вид:
В таком виде закон Ома входит в систему уравнений Максвелла, представляющую собой фундамент классической электродинамики.
Добавить комментарий