Жизнь титана

20 ноября 1792 г. (по старому стилю) в Нижнем Новгороде (ныне г. Горький)1 в семье скромного коллежского регистратора Ивана Максимовича Лобачевского родился сын Николай, которому суждено было вписать одну из самых ярких страниц в летопись отечественной и мировой науки.

Отец Лобачевского рано скончался, и все заботы о семье легли на мать. Прасковья Александровна Лобачевская осталась с тремя детьми без каких-либо средств к существованию. Проявив завидное мужество и настойчивость.   Прасковья Александровна добилась того, что в ноябре 1802 г. три её сына (Александр — 11 лет, Николай — 10 лет, Алексей — 7 лет) были приняты в Казанскую гимназию. Интересно, что в этой же гимназии и примерно в то же время учился будущий писатель Сергей Тимофеевич Аксаков. Из воспоминаний Аксакова можно получить представление о тех условиях, в которые попали братья Лобачевские.

Прежде всего Аксаков обращает внимание на тяжелый гимназический режим. «Вставанье по звонку, задолго до света, при потухших и потухающих ночниках и сальных свечах, наполнивших воздух нестерпимой вонью; холод в комнатах, отчего вставать еще неприятнее бедному дитяти, кое-как согревшемуся под байковым одеялом; общественное умывание из медных рукомойников, около которых всегда бывает ссора и драка; ходьба фрунтом на молитву, к завтраку, в классы; к обеду и т. д., завтрак, который состоял в скоромные дни из стакана молока пополам с водою и булки, а в постные дни — из стакана сбитня с булкой...» (Аксаков С. Т. Воспоминания//Собр. соч.: В 4 т. — М., 1955. — Т. 2. — С. 24).

Все в гимназии было организовано так, чтобы подавить и унизить личность. «По распоряжению гимназического начальства, никто из воспитанников не мог иметь у себя ни своих вещей, ни денег: деньги, если они были, хранились у комнатных надзирателей и употреблялись с разрешения главного надзирателя; покупка съестного или лакомства строго запрещалась; конечно, были злоупотребления, но под большою тайной. В числе других строгостей находилось постановление, чтобы переписка воспитанников с родителями и родственниками производилась через надзирателей: каждый ученик должен был отдать незапечатанное письмо, для отправки на почту, своему комнатному надзирателю, и он имел право прочесть письмо...» (Аксаков С. Т. Воспоминания//Собр. соч.: В 4 т. — М., 1955. — Т. 2. — С. 27 — 28).

Каждый человек, интересующийся жизнью Лобачевского, невольно задается вопросом: кто же учил его математике? Ведь совершенно не исключено, что будь на месте учителя математики невежественный человек, Лобачевский мог бы приложить свои способности совершенно в другой области.

Аксаков хорошо знал учителя Григория Ивановича Карташевского, который преподавал Лобачевскому математику, так как сам у него учился. «Григорий Иванович серьезно занимался своей наукой и, пользуясь трудами знаменитых тогда ученых по этой части, писал собственный курс чистой математики для преподавания в гимназии; он читал много немецких писателей, философов и постоянно совершенствовал себя в латинском языке» (Аксаков С. Т. Воспоминания//Собр. соч.: В 4 т. — М., 1955. — Т. 2. — С. 102).

В январе 1807 г. в возрасте 14 лет Лобачевский становится студентом Казанского университета, с которым оказалась связанной почти вся его последующая жизнь.

В июле 1807 г. в семье Николая Лобачевского произошло трагическое событие. Купаясь в реке Казанке, утонул его старший брат Александр. Все попытки вернуть ему жизнь оказались тщетными. Гибель брата произвела на Николая столь сильное впечатление, что он решил оставить занятия любимой математикой и отдаться всецело изучению медицины. Лобачевскому казалось, что ему подвластно разгадать тайну жизни и смерти.

Два года продолжалось увлечение Лобачевского медициной, но постепенно влечение к математике вновь захватило все думы и помыслы Лобачевского.

В августе 1811 г. Лобачевский получил степень магистра физико-математических наук, в марте 1814 г. он становится адъюнктом (это ученое звание соответствует современному званию доцента), а летом 1816 г. экстраординарным профессором. Ему было в это время 23 года.

Вскоре после этого начался весьма мрачный период в деятельности Казанского университета.

В те годы среди русской интеллигенции растут революционные настроения. Правительство Александра I проводит все более реакционную линию. В первую очередь проверке подвергаются университеты, чтобы задушить в них зарождающиеся свободомыслие и атеизм.

В январе 1819 г. широкие полномочия для обследования Казанского университета получил крайний реакционер член Главного правления училищ М. Л. Магницкий.

Магницкий представил доклад о неблагополучном состоянии дел в Казанском университете и предложил университет закрыть, а его здание разрушить.

Университет не был закрыт, но Магницкий был назначен попечителем Казанского учебного округа и получил предписание императора Александра I привести в «должный порядок» все части университета.

Прежде всего Магницкий позаботился о том, чтобы истребить в университетской библиотеке все кинги, отличающиеся «вредным направлением». Однако книги, отобранные для сожжения, были спасены работниками библиотеки и спрятаны в надежных хранилищах.

Отношения Лобачевского с Магницким были далеко не безоблачными. В 1821 г. Лобачевскому было предложено выступить на торжественном акте по случаю окончания учебного года. Зная по опыту предшествующих лет, что от докладчика требуется угодничать и фарисействовать, он категорически отказался от выступления. Это привело к первой размолвке между Лобачевским и Магницким. Кризис в их отношениях постепенно углублялся.

После приведении Казанского университета в «надлежащее устройство» Магницкий предложил всем профессорам представить для напечатания книги и конспекты. На это предложение откликнулись немногие. Среди них был Лобачевский. Летом 1823 г. он представил рукопись под названием «Геометрия». Магницкий направил ее на заключение академику Н. И. Фуссу.

«Геометрия» Лобачевского представляла собой краткий обзор элементарной геометрии, предназначенной для лиц, уже знакомых с этим курсом. Книга несомненно была оригинальной, в ней чувствовалась попытка наметить самостоятельные пути построения геометрии. В этот период очень велико было влияние «Начал» Евклида. Во многих странах считалось, что знаменитое творение Евклида должно изучаться в средней школе. «Начала» действительно представляли собой величайшее произведение античной литературы. Однако в конце XVIII и начале XIX в. во Франции под влиянием Даламбера появились школьные учебники, более приспособленные для обучения элементарной геометрии.

В России первым учебником, подвергшим ревизии «Начала» Евклида, явилась книга русского математика и механика, академика С. Е. Гурьева (1766 — 1813) «Опыт о усовершенствовании элементов геометрии».

Возражения академика Фусса против «Геометрии» заключались в следующем:

1) «Геометрия» не является систематическим изложением курса;

2) в книге использована метрическая система мер (метрическая система была, как известно, введена во время французской революции, и возможно, что именно это обстоятельство особенно шокировало Фусса и явилось главной причиной отрицательного отзыва).

В заключении своего отзыва академик Фусс написал, что «Геометрия» Лобачевского как учебная книга принята быть не может.

Лобачевскому было предложено либо исправить свою рукопись, либо представить возражения на замечания Фусса. Однако он не пожелал сделать ни того, ни другого, даже не взял рукопись обратно. Она считалась утерянной, и только в 1909 г., через 53 г. после смерти Лобачевского, книга «Геометрия» была наконец опубликована.

Начало 1826 г. было ознаменовано падением Магницкого. Он был уволен в отставку за растрату казенных денег и превышение власти. Это событие, естественно, привлекло к себе внимание широких кругов общественности. Но никто не подозревал, что падение Магницкого является совершенно заурядным происшествием по сравнению с тем, что в этом же 1826 г. произошло одно из величайших открытий в математике. 11 февраля 1826 г. (23 февраля по новому стилю) на заседании физико-математического отделения Лобачевский сделал свой знаменитый доклад2 «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллелях», в котором он высказал мысль о том, что пятый постулат Евклида не может быть выведен из остальных аксиом геометрии. По существу Н. И. Лобачевский сообщил об открытии им новой геометрии. Однако тогда доклад гениального геометра не был понят и вызвал одно лишь недоумение.

В 1827 г. Лобачевский был избран ректором Казанского университета и занимал эту должность в течение 19 лет. Это была славная страница его жизни, полная трудового пафоса и гражданского мужества. На посту ректора университета Лобачевский показал себя незаурядным организатором науки и выдающимся воспитателем молодежи.

Летом 1830 г. достигла Казани начавшаяся в других районах России эпидемия холеры. О мужестве, проявленном молодым ректором Казанского университета во время эпидемии, впоследствии ходили легенды.

Лобачевский добился от губернатора, чтобы город был оцеплен. По распоряжению Лобачевского университетский квартал был превращен в крепость, полностью изолирован от внешнего мира. На территории университета сосредоточилось около 600 человек — преподавателей, членов их семей, студентов. Энергия Лобачевского, принятые им строгие санитарные меры (вот когда пригодились знания в области медицины!) позволили до минимума сократить число жертв.

В 1829 — 1830 гг. в «Казанском вестнике» было напечатано исследование Лобачевского «О началах геометрии», в котором впервые на страницах научной печати излагались основы неевклидовой геометрии.

В своей работе Лобачевский, в частности, писал: «...Кто не согласится, что никакая математическая наука не должна была бы начинаться с таких темных понятий, с каких, повторяя Евклида, начинаем мы Геометрию; и что нигде в математике нельзя терпеть такого недостатка строгости, какой принуждены были допустить в теории параллельности линий» (Лобачевский Н. И. О началах геометрии//Полн. собр. соч. — М.; Л., 1946 — 1951. — Т. 1.— С. 185).

Эти слова русского ученого намного опередили свое время. Они направлены против идеалистических представлений, согласно которым понятия о пространстве не зависят от наших чувств, от опыта. Лобачевский был, таким образом, проводником материалистических идей в математике.

В октябре 1834 г. в реакционном журнале Ф. Булгарина и Н. Греча «Сын отечества», № 41, появилась резкая издевательская критическая статья на работу Лобачевского, подписанная инициалами С. С. В ней, в частности, говорилось: «Как можно подумать, чтобы г-н Лобачевский, ординарный профессор математики, написал с какою-нибудь серьезною целию книгу, которая не много принесла бы чести и последнему приходскому учителю? Если не ученость, то по крайней мере здравый смысл должен иметь каждый учитель, а в новой геометрии нередко недостает и сего последнего».

Рецензент договорился даже до того, что предлагал назвать открытие Лобачевского «каррикатурой на геометрию».

В 1867 г. в предисловии к первому изданию «Капитала» Карл Маркс писал: «Что же касается предрассудков так называемого общественного мнения, которому я никогда не делал уступок, то моим девизом по-прежнему остаются слова великого флорентийца:

«Segui il tuo corso, e lascia dir le genti!».

К. Маркс привел здесь слова Данте: «Следуй своей дорогой, и пусть люди говорят что угодно!»3.

Можно без преувеличения сказать, что эти слова были жизненным девизом Лобачевского. Поистине тернистой была дорога, избранная Лобачевским, но она привела его к бессмертию.

Публикация Лобачевским этой работы явилась, как выяснилось впоследствии, настоящей драмой для выдающегося венгерского математика Яноша Больяйя (1802 — 1860), имя которого история также связала с открытием неевклидовой геометрии.

Еще будучи студентом военно-инженерной академии, Янош Больяй увлекался проблемой пятого постулата. Он сообщил об этом своему отцу, также математику, Фаркашу Больяйю и получил от него письмо, отрывок из которого мы здесь приводим: «Ты не должен пытаться одолеть теорию параллельных линий... я знаю этот путь, я проделал его до конца, я пережил эту беспросветную ночь, и всякий светоч, всякую радость жизни я в ней похоронил. Молю тебя, оставь в покое учение о параллельных линиях... оно лишит тебя здоровья, досуга, покоя — оно тебе погубит всю радость жизни...» (Каган Ф. В. Очерки по геометрии. — М., 1963. — С.39).

Но Янош был одержим своей идеей. Остановить его на полпути было уже невозможно.

В 1833 г. он оставил тяготившую его военную службу. К этому времени на латинском языке уже было опубликовано его исследование как приложение (по-латыни Appendix) к курсу математики, написанному его отцом. В «Аппендиксе» Янош Больяй в чрезвычайно сжатой форме изложил основы неевклидовой геометрии.

Фаркаш Больяй послал экземпляр «Аппендикса» на суд своему другу — великому математику Карлу Гауссу. В ответном письме Гаусс писал, что не может хвалить работу Яноша, так как это значило бы хвалить самого себя, потому что все содержание этой работы почти сплошь совпадает с теми результатами, которые были давно получены им самим, но при жизни он не хотел их публиковать.

Ответ Гаусса произвел на Яноша Больяйя столь тягостное впечатление, что он даже не поверил ему. Янош решил, что «жадный Гаусс» хочет похитить приоритет его открытия. Янош не знал в это время, что приоритет открытия новой геометрии уже принадлежал русскому математику Лобачевскому.

О работах Лобачевского он узнал лишь в 1848 г. Душевное равновесие оставило нервного и впечатлительного Яноша, в 1860 г. он скончался. Итак, создание неевклидовой геометрии связано с именами трех математиков — Карла Гаусса, Николая Ивановича Лобачевского, Яноша Больяйя. Все они независимо друг от друга и почти одновременно пришли к одной и той же общей системе геометрии. Однако роль каждого из них в создании новой геометрии была различной: Гаусс побоялся опубликовать свои результаты, побоялся быть непонятым, подорвать свой непререкаемый авторитет; Лобачевский до конца своих дней трудился над развитием и совершенствованием своей геометрии; Янош Больяй сделал лишь первые шаги в конструировании новой геометрической системы.

Остановимся теперь более подробно на деятельности Лобачевского на посту ректора.

Лобачевский прежде всего занялся организацией настоящей научной библиотеки, которая должна была не только способствовать более эффективной самостоятельной работе студентов, но и дать возможность преподавателям заниматься серьезными научными исследованиями.

Благодаря энергии Лобачевского удалось получить значительные средства на пополнение библиотеки.

Казанский университет испытывал огромную нужду в новых помещениях. В связи с этим Лобачевский возглавил строительный комитет. Он настолько серьезно отнесся к возведению новых зданий университета, что начал изучать архитектуру, хотя строительство велось при активном участии выдающегося архитектора М. П. Коринфского (им были построены библиотека, анатомический театр, обсерватория, химическая лаборатория и др.). Новые университетские здания были построены к 1842 г.

Почти сразу же по окончании строительства 24 августа 1842 г. случился один из самых страшных в Казани пожаров. Некоторые из вновь построенных зданий погибли. Спасением университетских зданий и имущества лично руководил Лобачевский. При помощи студентов удалось спасти как здание библиотеки, так и бесценные книги и рукописи.

Лобачевский уделял большое внимание тщательному подбору квалифицированных кадров преподавателей, число которых постепенно росло.

По университетскому уставу каждый преподаватель должен был не только обучать студентов, но и заниматься научными исследованиями. Лобачевский хорошо сознавал, что, для того чтобы научные занятия не были пустой тратой времени, их итоги должны как можно быстрее публиковаться. Для этого же необходимо создание специального научного органа — «ученых записок». Лобачевскому удалось осуществить это начинание, и в 1835 г. появилась первая книжка «Ученых записок Казанского университета».

Современники отмечали, что все события университетской жизни этого периода были связаны с именем Лобачевского.

Несмотря на огромную занятость на посту ректора, Лобачевский в это время чрезвычайно плодотворно занимался научной деятельностью. Так, в 1835 г. в первой же книжке «Ученых записок Казанского университета» была напечатана его работа «Воображаемая геометрия», и сразу же после ее опубликования началось печатание в тех же «Ученых записках Казанского университета» самого объемного его сочинения — «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных». Печатание этого сочинения закончилось в 1838 г. Следует заметить, что Лобачевский излагал свои мысли очень конспективно, поэтому читать его труды было делом чрезвычайно сложным. В «Новых началах...» он попытался дать более развернутое изложение открытой им геометрии, хотя и этот текст страдает излишней сжатостью.

В 1840 г. Лобачевский опубликовал небольшую книгу (на немецком языке)  под названием «Геометрические исследования». Эта книга получила отрицательный отзыв в немецкой печати.

После смерти Гаусса в его библиотеке были найдены два экземпляра «Геометрических исследований». Гаусс познакомился с содержанием этой книги и был восхищен им, о чем писал своим друзьям.

Однако он не поддержал Лобачевского. Правда, в ноябре 1842 г. Гаусс предложил избрать Лобачевского за его научные заслуги, не поясняя, за какие именно, членом Геттингенского ученого общества, что было равносильно избранию в академию. Гаусс прислал Лобачевскому в связи с этим специальный диплом и письмо.

В 1855 г. в «Ученых записках Казанского университета» появилась последняя научная работа Н. И. Лобачевского «Пангеометрия» (т. е. «Всеобщая геометрия»).

Лобачевский заканчивает свой последний труд соображениями относительно того, какой из двух постулатов — евклидов или неевклидов — имеет место в природе. Он еще раз повторяет вывод, имеющий не только геометрическое, но и гносеологическое значение: «Один опыт только может подтвердить истину этого предположения, например, измерением на самом деле трех углов прямолинейного треугольника...» (Каган В. Ф. Лобачевский. — М., Л., 2-е изд., 1948. — С. 359).

Многогранная деятельность Лобачевского не ограничивалась руководством университетом, научной работой и чтением лекций. Он проявлял большой интерес и к вопросам воспитания молодежи и преподавания математики в гимназии. Так, еще в 1825 г. Лобачевский подготовил школьный учебник «Алгебра или исчисление конечных». К сожалению, по неясным причинам рукопись так и не была издана. Одна деталь показывает, насколько серьезно относился Лобачевский к созданию школьных учебников. Прежде чем подготовить окончательный вариант своего учебника, Лобачевский организовал его опытную проверку в Казанской гимназии.

В 1828 г. в связи с введением нового учебного плана для гимназий и уездных училищ создается комитет для выработки инструкции для учителей, председателем которого был назначен Лобачевский. Ему же было поручено составить инструкцию под названием «Наставления учителям математики в гимназиях» (эта инструкция сохранилась до наших дней).

Воспоминания о Лобачевском его бывших коллег и учеников, его родственников позволяют воссоздать образ великого геометра.

По свидетельству многих людей, Лобачевский отличался не только глубиной математического образования, но и огромной общей культурой. Он интересовался философией, хорошо знал французскую и немецкую литературу XVIII в., изучал химию, ботанику, анатомию. По-видимому, не была ему чужда и поэзия.

По воспоминаниям современников, Николай Иванович был человек высокого роста, худощавый, несколько сутуловатый, с головой почти всегда опушенной вниз, что придавало ему задумчивый вид.

Глубокий взгляд его темно-серых глаз был постоянно угрюмый, задумчивый, и сдвинутые брови его расправлялись в очень редкие минуты веселого расположения, минуты, в которые Лобачевский поражал слушавших его необыкновенным добродушным юмором!

Лобачевский был прекрасным лектором. И если писал он очень сжато, слог его был тяжелым, то лекции читал совсем по-другому, просто, очень четко, стараясь при этом активизировать мысль слушателей, красиво записывал на доске формулы. Во время экзаменов Лобачевский старался получить ясную картину о знаниях студентов, задавая множество вопросов.

В июле 1846 г. исполнилось тридцатилетие службы Лобачевского в университете. По уставу университета он должен был оставить службу, несмотря на то что ему было только 53 года и как ученый и педагог Лобачевский был еще в расцвете сил.

Вскоре после ухода Лобачевского из университета заболел чахоткой и умер его старший сын Алексей, любимец отца, очень на него похожий. Смерть сына окончательно подорвала здоровье Лобачевского. Он стал мрачным и угрюмым, начал слепнуть.

Свою последнюю научную работу «Пангеометрню» Лобачевский диктовал уже будучи слепым.

Материальное положение его было в это время очень затруднительным.

12 февраля (24 февраля по новому стилю) 1856 г. Лобачевский скончался.

Завершая очерк о жизни и деятельности великого математика, постараемся коротко обобщить гигантский вклад, сделанный Лобачевским в развитие науки.

1. С открытием неевклидовой геометрии закончились бесплодные попытки доказательства пятого постулата. Формально эта проблема была решена после смерти Лобачевского путем установления непротиворечивости неевклидовой геометрии. Таким образом, Лобачевским была решена проблема, о которую в течение двух тысяч лет разбивались тщетные усилия математиков.

2. Открытие Лобачевского способствовало в конечном счете решению еще одной принципиальной проблемы. Дело в том, что начиная с античной эпохи математики были всегда убеждены в разрешимости любой возникающей проблемы. Считалось, что стоит приложить соответствующие усилия — и любая «крепость» падет. Такая точка зрения сложилась, несмотря на то что, помимо пятого постулата, имелись и другие задачи, не поддававшиеся решению в течение многих веков. К этим неприступным задачам относятся, например, три знаменитые задачи древности, сущность которых состояла в следующем: при помощи циркуля и линейки осуществить деление произвольного угла на три равные части (задача о трисекции угла); построить квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга (задача о квадратуре круга); построить ребро такого куба, объем которого был бы вдвое больше объема данного куба, т. е. куба с заданным ребром (задача удвоения куба). Открытие неевклидовой геометрии явилось первым в истории математики доказательством невозможности осуществления определенного вывода. Добавим, что во второй половине XIX в. была доказана неразрешимость циркулем и линейкой сформулированных выше знаменитых задач древности.

3. Открытие неевклидовой геометрии Лобачевского нанесло удар монополии геометрии Евклида, которая в течение двадцати с лишним веков считалась незыблемой, единственно возможной. Лобачевский показал, что геометрия Евклида является частным случаем «воображаемой» геометрии. Открытие Лобачевского положило начало созданию других неевклидовых геометрий, занимающих важное место в современной математике, и оказало огромное влияние на дальнейшее развитие математики.

4. Создание неевклидовой геометрии Лобачевского имело и большое философское значение, поскольку оно укрепило позиции материализма. Знаменитый немецкий философ-идеалист Кант полагал, что человеческий разум может дать лишь чисто субъективную картину мира.

Пространственные представления, по Канту, возможны лишь в рамках евклидовой геометрии. Все положения математики Кант считал не зависящими от опыта, а непосредственно вытекающими из разума. Доказательство этого он усматривал прежде всего в очевидности аксиом. Кант считал, что евклидова геометрия является единственно возможной геометрией, поскольку можно представить себе только единственное пространство. В отличие от этих идеалистических взглядов материалисты, считая материю первичной, рассматривают сознание, мышление (в частности, все аспекты математики) как свойство материи.

Открытием геометрии Лобачевского учению Канта был нанесен сокрушительный удар. Действительно, возможность существования непротиворечивой геометрической системы, отличной от геометрии Евклида, убедительно показала, что аксиомы геометрии не могут представлять собой положения, зависящие только от разума. Аксиомы — это лишь гипотезы, требующие опытной проверки.

5. Открытие Лобачевского нашло приложение к общей теории относительности. Если считать распределение материи во Вселенной равномерным, то в определенных условиях геометрия пространства совпадает с геометрией Лобачевского.

6. Геометрия Лобачевского нашла интересные приложения в ряде областей математики. Лобачевский применил свою геометрию к вычислению определенных интегралов. Французский математик Анри Пуанкаре использовал геометрию Лобачевского при построении теории так называемых автоморфных функций. Геометрия Лобачевского нашла применение также в одном из разделов теории чисел (геометрия чисел).

Говоря о гигантском вкладе в науку Н. И. Лобачевского, известный математик В. Ф. Каган отметил: «В истории математики, в истории точного знания и философии Лобачевский всегда будет принадлежать к числу величайших основоположников наряду с Архимедом, Галилеем, Коперником и Ньютоном» (В. Ф. Каган. Очерки по геометрии. — М.. 1963. — С. 240).

• 1. Город Горький (ныне опять Нижний Новгород). — Прим. админа.
• 2. Это не так.

  В работах

  —  Полотовский, Г.М. Как изучалась биография Н.И. Лобачевского / Г.М. Полотовский // Историко-математические исследования. Вторая серия. — 2007. — Вып. 12(47). С.32-49.,

  —  Федоренко, Б.В. Новые материалы к биографии Н.И. Лобачевского / Б.В. Федоренко. — Л.: Наука, 1988. – 384 с.

  отмечено, что нет никаких данных о том, что Лобачевский прочитал доклад; известные документы лишь сообщают, что он представил на отзыв свою рукопись, которая утрачена и о содержании её нет никаких достоверных сведений.

  См. подробности на сайте журнала 7 искусств.

• 3. Маркс К. Капитал: Предисловие к первому изданию//Маркс К., Энгельс Ф. Соч. — 2-е изд. — Т. 23. — С. 11.