После того как мы выяснили, что сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского меньше 2d, справедливо возникает вопрос: является ли эта сумма постоянной величиной независимо от формы и размеров треугольника?

Ответом на этот вопрос служит следующая теорема:

Сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского есть величина переменная и зависит от формы и размеров треугольника.

1.

Пусть дан треугольник АВС, в котором проведен произвольный отрезок ВD. разбивающий его на два треугольника АВD и ВDС (рис. 30).

2.

Будем доказывать теорему метолом от противного. Допустим, что у всех треугольников в геометрии Лобачевского

сумма углов есть постоянная величина: γ < 2d.


3.

Обозначим сумму углов данного треугольника S(АВС) и пронумеруем его углы (рис. 31).

4.

Из рисунка 31 видно, что

∠1 +∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 +∠6 = S(АВС) +

2d, так как ∠6 + ∠5 = 2d.


5.

Но ∠1 +∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 +∠6 = S(АВD) + S(ВDC).

6.

Отсюда S(АВD) + S(ВDC) =

7.

Принимая во внимание сделанное допущение (сумма углов треугольника — величина постоянная), равенство S(АВD) + S(ВDC) = S(АВC) + 2d перепишется так:

8.

Решив полученное уравнение относительно γ, получим, что γ = 2d. Это противоречит условию, так как

в геометрии Лобачевского сумма углов треугольника меньше 2d.


9.

Доказали, таким образом, что в геометрии Лобачевского сумма углов треугольника является переменной величиной.

 

Добавить комментарий

Plain text

  • HTML-теги не обрабатываются и показываются как обычный текст
  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.
CAPTCHA
Этот вопрос задается для того, чтобы выяснить, являетесь ли Вы человеком или представляете из себя автоматическую спам-рассылку.