§53

В абсолютной геометрии справедлива теорема Лежандра:

Сумма внутренних углов треугольника не превышает 2d, т. е. равна 2d или меньше 2d.

Приступаем   к доказательству теоремы  Лежандра.

1.

Обозначим сумму внутренних углов произвольного треугольника АВС через S(АВС). Тогда нам нужно доказать, что

2.

Пусть дан треугольник А₁В₁А₂ (рис. 28).

3.

Будем доказывать теорему методом от противного. Допустим, что сумма углов в треугольнике А₁В₁А₂

4.

От точки А₂ на прямой А₁А₂ отложим n –1 отрезков, равных отрезку А₁А₂:

А₁А₂ = А₂А₃ =… = А_nА_n+1. На полученных равных отрезках построим   треугольники,   равные треугольнику А₁В₁А₂ . Получим в результате всего

5.

Соединим вершины всех треугольников отрезками (рис.29).

Выполните в тетради чертеж.

6.

Получим, таким образом, дополнительно к имеющимся уже треугольникам еще

7.

Треугольники А₂В₁В₂, А₃В₂В₃ ,…, А_nВ_n–1В_n, будут

8.

Следовательно, В₁В₂ = В₂В₃ = ... = В_{n – 1}В_n.

9.

Сравним теперь величины углов А₁В₁A₂ и B₁A₂В₂, т. е. β и β'.

Ответы:

А. Эти углы равны как накрест лежащие углы при параллельных и секущей.

Б. β > β’ (α + β + γ > 2d, α + β’ + γ = 2d).

В. Не знаю.

10.

Сравним теперь отрезки А₁A₂ и В₁B₂.

11.

Заметим далее, что А₁B₁ + B₁B₂ + … + B_n–1B_n + B_nA_{n +1} > A₁A_{n +1}, так как

12.

Последнее неравенство можно переписать так:

А₁B₁ + (n – 1) B₁B₂ + B_nA_{n +1} >

13.

Или же:

А₁B₁ + n B₁B₂ – B₁B₂ + B_nA_n+1 >

14.

Заменим далее B_nA_n+1 на B₁A₂ (B_nA_n+1 = B₁A₂).

15.

Сгруппируем теперь иначе члены последнего неравенства:

n(А₁A₂ – B₁B₂) < А₁B₁ – B₁B₂ + B₁A₂.

16.

Последнее неравенство говорит о возникшем противоречии. Подумайте, а затем

17.

Полученное противоречие говорит о том, что сумма углов треугольника