§50

1.

Непротиворечивость геометрии Евклида устанавливается при помощи так называемой арифметической модели.

Ограничимся рассмотрением аксиом плоскости системы Гильберта.

Под точкой условимся понимать любую пару действительных чисел (x; y), при этом числа берутся в определенном порядке. Поэтому точки (2; 7) и (7; 2) различные.

Под прямой условимся понимать тройку чисел (a; b; с), взятых в определенном порядке. При этом по крайней мере одно из чисел a или b должно быть отлично от нуля. Если даны две прямые (a; b; с) и (a₁; b₁; с₁) и выполняется условие a = ka₁, b = kb₁, с = kс₁, где k ≠ 0, то прямые совпадают. Будем, наконец, считать, что точка (x₁; _y1) принадлежит прямой (a; b; с), если выполняется условие ax₁ + b_y1 + с = 0, т. е. числа x₁ и _y1 являются корнями уравнения ax + b_y + с = 0.

2.

Проверим первые три аксиомы I группы системы Гильберта1.

Сформулируйте указанные аксиомы, запишите их в тетради, а затем правильность формулировок проверьте по указанию 85.

3.

Теперь важно убедиться в том, что формулировки аксиом представляют собой верные утверждения.

Первая аксиома, как вы уже знаете, читается так: «Каковы бы ни были две пары чисел (x₁; _y1) и (x₂; _y2), существует тройка чисел (a; b; с), такая, что ax₁ + b_y1 + с = 0 и ax₂ + b_y2 + с  = 0».

Пусть, например, даны две точки, т. е. две пары чисел (–4; 2) и (3; 5). Если существует прямая (a; b; с),  которой принадлежат точки (–4; 2) и (3; 5), то должны выполняться равенства

– 4a + 2b + с = 0.        (1)

3a + 5b + с = 0.           (2)

Вычтем из равенства (1) равенство (2). Получим: – 7a – 3b  = 0, т. е. –7a = 3b.

Мы условились, что либо a, либо b не должно быть равным нулю. В данном случае из равенства –7a = 3b видно, что a ≠ 0,  b  ≠ 0. Тогда a/b = –3/7.

Таким образом, a = 3k, b = –7k, k  ≠ 0. (Если вам недостаточно ясно, почему появился множитель k, то смотрите указание 86.)

Теперь из первого равенства можно найти значение c: –c = –4 · 3k + 2·(–7)k = –26k, c = 26k . Таким образом, мы нашли прямую (3k; –7k; 26k), которой принадлежат точки (–4; 2) и (3; 5).

4.

Вторую аксиому сформулировали следующим образом: «Каковы бы ни были две различные пары чисел (x₁; _y1) и (x₂; _y2), существует не более одной тройки чисел (a; b; с),  такой, что ax₁ + b_y1 + с = 0 и ax₂ + b_y2 + с = 0».

Подумайте, выполняется ли в рассматриваемой модели эта аксиома, а затем см. указание 87.

5.

Третья аксиома была сформулирована так: «Для каждой тройки чисел можно указать по крайней мере две пары чисел (x₁; _y1) и (x₂; _y2), такие, что ax₁ + b_y1 + с = 0 и ax₂ + b_y2 + с = 0. Существуют по крайней мере три пары чисел (x₁; _y1), (x₂; _y2), (x₃; _y3), такие, что ax₁ + b_y1 + с = 0, ax₂ + b_y2 + с = 0, ax₃ + b_y3 + с = 0».

Установить справедливость этого предложения очень просто. Действительно, возьмем, например, тройку чисел (1; –2; –4) и докажем, что уравнение x – 2_y – 4 = 0 имеет бесконечное множество решений. Для этого решим уравнение   x – 2_y  – 4 = 0 относительно   x.   Получим x = 2_y – 4. Если придавать _y  произвольные значения, то получим сколько угодно значений x, таких, что x и _y   при подстановке в уравнение x – 2_y  – 4 = 0 дают верные равенства.

Укажите две пары чисел, которые удовлетворяют уравнению x – 2_y  – 4 = 0, а также пару чисел, не удовлетворяющих уравнению x – 2_y – 4 = 0 (см. указание 88).

6.

Теперь нам осталось установить, что в арифметической модели имеет место аксиома параллельности или предложение Плейфера.

В арифметической модели геометрии Евклида аксиома параллельности сформулирована так: «Пусть дана тройка чисел (a; b; c) и пара чисел (x₁; _y1), такая, что ax₁ + b_y1 + c ≠ 0. Тогда существует единственная тройка чисел (p; q; r)  такая, что px₁ + q_y1 + r = 0 и уравнения ax + b_y + r = 0 не имеют общих решений.

Итак, необходимо доказать, что уравнение ax + b_y + c  = 0 и px + q_y + r = 0 не имеют общих решений. Иначе эту задачу можно сформулировать так. Доказать, что система уравнений

не имеет решений.

Пусть, например, даны прямые  _y  = x – 1 и точка (0; 2), не лежащая на этой прямой. Требуется доказать, что существует единственная прямая, проходящая через точку (0; 2) и параллельная прямой _y = x – 1.

Докажите это самостоятельно, а затем см. указание 89.

• 1.

  1. Каковы бы ни были две точки А и В, существует прямая, проходящая через каждую из точек А и В.

  2. Каковы бы ни были две различные точки А и В, существует не более одной прямой, которая проходит через каждую из точек А и В.

  3. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.