§49

1.

Рассмотрим еще одну модель геометрии Лобачевского, созданную знаменитым французским математиком Жюлем Анри Пуанкаре (1854 — 1912) в 1882 г. Понимание сущности этой модели потребует от вас большего напряжения, чем в предыдущем случае.

Возьмем обычную евклидову плоскость и проведем в ней горизонтальную прямую a, которая разделит плоскость на две полуплоскости. Точки верхней полуплоскости будем считать неевклидовыми точками (точки прямой a не являются неевклидовыми). Неевклидовыми прямыми будем считать полуокружности, центры которых расположены на прямой a. К числу неевклидовых прямых отнесем также лучи, перпендикулярные прямой a  (рис. 27).

Проверим теперь, выполняются ли в данной модели аксиомы I группы системы аксиом Гильберта.

Первая аксиома будет читаться так: каковы бы ни были две точки А и В, существует полуокружность, проходящая через каждую из точек А и В. Имеется в виду, естественно, полуокружность, центр которой принадлежит прямой a .

Вопрос. Как установить единственность неевклидовой прямой, определяемой точками А и В (см. указание 81)?

2.

Третья аксиома I группы также имеет место, так как на полуокружности существуют не две, а даже бесконечное множество точек. В верхней же полуплоскости имеется бесконечное множество точек, не лежащих на полуокружности.

Поскольку мы рассматриваем модель планиметрии Лобачевского, остальные аксиомы I группы нас не интересуют.

Теперь можно перейти к проверке аксиомы параллельности (чтобы не усложнять материал излишними деталями, мы решили, как вы помните, не рассматривать аксиомы II — IV групп системы Гильберта).

Попробуйте теперь выяснить, какое предложение (аксиома Плейфера или аксиома Лобачевского) будет выполняться в модели, а затем см. указание 82.

3.

В процессе построения двух последних моделей мы существенно опирались на геометрию Евклида.

Вопрос. Можно ли считать, что доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского носит абсолютный характер? Подумайте, а затем см. указание 83.

4.

Итак, для того чтобы окончательно удостовериться в непротиворечивости геометрии Лобачевского, надо доказать непротиворечивость геометрии Евклида.