§37

Рассмотрим теперь две интересные попытки доказать пятый постулат Евклида. Эти попытки отделяют друг от друга 14 столетний. Первое «доказательство» принадлежит древнегреческому философу-идеалисту математику Проклу (ок. 410 — 485 гг.), второе — венгерскому математику Фаркашу Больяйю (1775 — 1856).

Доказательство Прокла

1.

В процессе доказательства пятого постулата Прокл сделал следующее допущение, считая его очевидным: расстояние от точки, лежащей на одной стороне острого угла, до другой его стороны возрастает при удалении этой точки от вершины угла (рис. 14).

Заметим, кстати, что это предложение может быть доказано без использования пятого постулата или какого-нибудь эквивалентного ему предложения. Для того чтобы придать доказательству Прокла большую строгость, будем считать, что сформулированное выше предложение строго доказано.

Пусть даны две параллельные прямые a и b, а также прямая c, пересекающая прямую a в точке K (рис. 15).

Тогда по мере удаления точки P от вершины угла PKQ расстояние d безгранично возрастает. Но так как расстояние между параллельными является постоянным, то прямая c обязательно пересекает прямую b.

2.

Вопрос.

Какой вывод можно сделать из того, что прямая c пересекает прямую b? Подумайте, а затем см. указание 61.

3.

Вопрос.

Допущена ли в доказательстве логическая ошибка? Подумайте, а затем см. указание 62.

Доказательство Ф. Больяйя

4.

Суть проблемы пятого постулата, как известно, состоит в том, чтобы доказать его, не вводя новых аксиом.

Математики, пытавшиеся доказать пятый постулат (кстати, всего известно около 250 доказательств), допускали двоякого рода ошибки. Во-первых, они незаметно для себя вводили в ход рассуждений «очевидный факт, который оказывался эквивалентом пятого постулата. Во-вторых, они сознательно дополняли систему аксиом новым постулатом, который в свою очередь оказывался эквивалентом пятого постулата. Следовательно, в обоих случаях математики попадали в ловушку «порочного круга».

Приведенное ниже доказательство относится ко второму типу доказательств пятого постулата Евклида.

Ф. Больяй дополнил евклидову аксиоматику следующим предложением (постулат Больяйя): «Три точки, не лежащие на одной прямой, всегда принадлежат некоторой окружности».

5.

Итак, пусть имеет место постулат Ф. Больяйя.

Проведем к отрезку АВ перпендикуляр ВС и наклонную АО (рис. 16).

Вопрос. Можно ли считать, что перпендикуляр и наклонная пересекаются? Подумайте, а затем см. указание 63.

6.

Возьмем на отрезке АВ (или   на   его   продолжении) произвольную точку К и построим симметричную ей точку   К'   относительно прямой АО. Аналогично построим точку   К",   симметричную   точке относительно прямой ВС.

7.

Вопрос. Лежат ли точки К, К', К" на одной прямой (см. указание 64)?

8.

Теперь можно доказать, что прямые ВС и АD пересекаются в точке О. Подумайте, а затем см. указание 65.

9.

Вопрос. Какой вывод следует из того, что перпендикуляр ВС и наклонная АD пересекаются? Подумайте, а затем см. указание 66.

10.

Вопрос. Можно ли считать, что пятый постулат Евклида строго доказан? Подумайте, а затем см. указание 67.