Как уже отмечалось, многие геометры прошлых веков обратили внимание на сложность формулировки пятого постулата Евклида. У многих из них возникла мысль: не является ли пятый постулат теоремой, нельзя ли его доказать? На протяжении двух тысячелетий многие выдающиеся математики пытались решить эту проблему. Иногда казалось, что они добились успеха, но позднее в их рассуждениях обнаруживались изъяны.
Остановимся подробнее на проблеме пятого постулата, так как этот постулат занимает особенное положение в геометрии. Бесчисленные попытки его доказать в значительной мере способствовали развитию геометрии.
Попытаемся и мы с вами, отдавая дань исторической традиции, доказать пятый постулат Евклида. Естественно, в ходе этого доказательства нельзя опираться на какие-либо предложения, эквивалентные пятому постулату Евклида. Иначе это означало бы, что мы доказываем пятый постулат, прибегая, по существу, к помощи того же пятого постулата.
Так, например, в §32 пятый постулат доказали, опираясь на теорему о сумме углов треугольника. Это не означает, конечно, что мы решили проблему постулата. Мы только установили эквивалентность пятого постулата и предложения о сумме углов треугольника. Однако, если это представляется рациональным, можно доказать не пятый постулат непосредственно, а одно из предложений, ему эквивалентных. Так и поступим. Попытаемся доказать предложение, эквивалентное пятому постулату: «Во всяком треугольнике сумма углов равна двум прямым». При изучении геометрии в VI классе вам уже пришлось встретиться с доказательством предложения о сумме углов треугольника. Но в этом доказательстве использовалась аксиома параллельности (предложение Плейфера1). Поэтому мы вынуждены пойти другим путем.
- 1. Через точку вне прямой (в плоскости) можно провести единственную прямую, не пересекающую данную прямую.
Добавить комментарий