Как это ни странно на первый взгляд, знаменитая теорема Пифагора также является эквивалентом пятого постулата Евклида. И мы сейчас это докажем. Правда, сделаем это окольным путем: докажем эквивалентность теоремы Пифагора предложению «Сумма углов всякого треугольника равна 2d». Последнее предложение, как мы только что отметили, эквивалентно пятому постулату Евклида; отсюда следует, что теорема Пифагора тоже эквивалентна пятому постулату Евклида. (Мы опираемся здесь на свойство транзитивности отношения эквивалентности: если предложение А эквивалентно предложению В, а предложение В эквивалентно предложению С, то предложение А эквивалентно предложению С. Правомерность использования свойства транзитивности отношения эквивалентности может быть строго обоснована).
Доказательство теоремы Пифагора вам хорошо известно. При этом доказательство теоремы Пифагора было получено на основе системы аксиом Σ + предложение Плейфера. Чтобы завершить доказательство эквивалентности теоремы Пифагора и пятого постулата, нужно показать, что из системы аксиом Σ + предложение Пифагора следует пятый постулат или предложение, ему эквивалентное.
Как уже отмечалось выше, пятый постулат Евклида эквивалентен предложению о сумме углов треугольника. Поэтому покажем, что из системы аксиом Σ + предложение Пифагора можно получить предложение о сумме углов треугольника.
Однако доказательство сформулированной теоремы будет проведено в два этапа. Предварительно докажем справедливость ее для случая равнобедренного прямоугольного треугольника. При этом существенно сделать следующее замечание: теорема «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, высота, опущенная на основание, является также биссектрисой и медианой» не зависит от пятого постулата. Следовательно, эту теорему можно использовать в рассуждениях.
Итак, приступаем к доказательству теоремы.
Добавить комментарий