Для дальнейшего изложения рассматриваемых вопросов нам понадобится уяснить важное понятие: эквивалентность двух каких-либо предложений относительно данной системы аксиом.
Пусть нам дана определенная система аксиом, которую мы обозначим греческой буквой Σ (сигма). Присоединим к этой системе аксиом еще одно предложение, которое обозначим буквой А. Получаем новую систему аксиом. Допустим, что из этой системы аксиом логически вытекает, т. е. может быть доказано, предложение В. Присоединим теперь к системе аксиом Σ предложение В, т. е. будем считать, что предложение В является аксиомой. Мы получаем, таким образом, новую систему аксиом Σ + В. Если из этой системы аксиом логически следует предложение А, то мы говорим, что предложения А и В эквивалентны относительно системы аксиом Σ.
Коротко это можно записать так.
Если выполняются два условия 1) Σ + А → В и 2) Σ + В → А, то предложения А и В называются эквивалентными относительно системы аксиом Σ.
Важно подчеркнуть следующее: два предложения А и В могут оказаться эквивалентными при использовании одной системы аксиом и неэквивалентными при использовании другой системы аксиом. Поэтому существенно указать, относительно какой системы аксиом рассматриваемые предложения эквивалентны.
Вопрос. К какому виду утверждений относятся предложения А и В, о которых говорилось выше, — к числу теорем или к числу аксиом?
Ответы.
А. Эти утверждения относятся к числу теорем, так как каждое из них доказывается (см. указание 33).
Б. Утверждение А в первом случае (см. выше) является аксиомой, а во втором случае оно является теоремой, утверждение В в первом случае — теорема, а во втором — аксиома (см. указание 34).
В. Оба утверждения являются аксиомами (см. указание 35).
Г. Не знаю (см. указание 36).
Добавить комментарий