Вы здесь

Арифметика на шахматной доске (двоичная арифметика)

 

Проблема в том, что люди не хотят учиться. Даже выполнению элементарных арифметических действий.

А зачем, если есть калькулятор? — Жми кнопки, да жми!

И всё же многим людям придётся учиться складывать, вычитать, умножать и делить без калькулятора. Поэтому, сейчас как никогда, важно облегчить им эту задачу.

В настоящем сообщении высказывается идея, значительно упрощающая изучение арифметических операций за счёт того, что

— не нужно сразу зазубривать таблицы сложения и умножения в десятичной системе счисления,

— не нужно ничего писать, достаточно пользоваться шахматной доской.

Кроме того, то, что будет изучать ребёнок, широко применяется в современных компьютерах, следовательно, в дальнейшем пригодится.

В своё время я таким способом успешно обучал арифметическим операциям своего старшего сына, когда он был ещё дошкольником.

Оборудование: шахматная доска, на которую для удобства нанесены линии, как показано на рисунке. Впрочем, если жалко портить шахматную доску, можно обойтись и без линий.

Деление клеток на белые и чёрные не требуется.

Поэтому можно взять большой лист бумаги, разграфить его, как показано на рисунке, но клеточки не закрашивать.

Наконец, потребуются шахматные пешки или шашки.

Идея состоит в том, что изучение арифметических операций начинается с двоичной системы счисления, и только потом следует переходить к десятичной системе счисления.

1. Что такое двоичная, десятичная и, вообще, позиционная система счисления.

Это такая система, в которой значение каждой цифры в записи числа зависит от её разряда (позиции).

Например, в привычной для нас десятичной системе счисления число 777 = 7 сотен + 7 десятков + 7 единиц. Т.е. одна и та же цифра 7 означает разные количества, — или сотни, или десятки, или единицы, —  в зависимости от того, какой разряд (позиция).

Далее, в разряде единиц могут находиться следующие цифры: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Они обозначают соответствующие количества (числа). Следующее число — 10. При записи этого числа произошло переполнение разряда единиц. В результате в разряде единиц появился нуль, но зато в разряде десятков единица. Аналогично происходит переполнение всех прочих разрядов.

В двоичной системе переполнение разрядов происходит уже при двух, в троичной системе при трёх и т.п.

2. Сложение в двоичной системе счисления.

Таблица сложения в двоичной системе очень проста:

0+0=0,    0+1=1,   1+0=1,     1+1=10.

Представим последнее равенство на шахматной доске: 0 — шашки нет, 1 — шашка есть.

Две шашки вызывают переполнение разряда.

Отсюда понятно правило сложения:

— если в вертикальном ряду есть две шашки, то их снимаем с доски, вместо них выставляем одну шашку в левом соседнем ряду.

— эта операция, если необходимо, повторяется; она сама собой прекратится, когда в ряду останется только одна шашка или не останется ни одной шашки.      

При решении конкретных задач правило сложения применяется многократно до тех пор, пока не получится окончательный результат, который спускаем в самую нижнюю строку, расположенную под линией,  —  в строку результатов.

Пример на сложение: 7+5+9=21.

 

 

Рекомендация: необходимо дать ребёнку готовую таблицу перевода двоичных чисел в десятичные и обратно, а также научить пользоваться ею.

3. Вычитание в двоичной системе счисления.

В качестве примера рассмотрим 9-3=6:

 

 

В первом разряде вычитание производится просто: 1(белая шашка)-1(чёрная шашка)=0.

Во втором разряде приходится из нуля вычитать единицу, поэтому "занимаем" в старших разрядах. — Шашку старшего разряда убираем, но зато вместо неё ставим две шашки в соседнем младшем разряде.

В нашем примере мы воспользовались этим правилом дважды, наконец, результат снесли в самую нижнюю строку результатов.

4. Умножение и деление в двоичной системе счисления.

Сначала полезно несколько раз убедиться в том, что в результате удвоения числа, т.е. сложения его с самим собой, число без изменения перемещается на один разряд влево. Иначе говоря, к записи числа справа приписывается один нуль.

Например,

5х2 = 10 в двоичной системе:

101х10=101+101=1010.

Если умножить на четыре, т.е. два раза по два, то справа приписывается два нуля

5х2х2 = 10х2=20 в двоичной системе:

101х10х10=1010+1010=10100.

И т.д.

Операции умножения и деления основаны на таблице умножения, которая в двоичной системе выглядит точно так же, как соответствующая часть таблицы умножения в десятичной системе:

0х0=0,  0х1=0, 1х0=0, 1х1=1.

Отсюда понятно, что умножение столбиком и деление уголком выполняется точно так же, как в десятичной системе, с единственным отличием, — сложение и вычитание, там, где это требуется,  выполняются по правилам двоичной системы, т.е. по правилам, рассмотренным выше.

Поэтому нет необходимости рассматривать операции умножения и деления подробно. Ниже приводятся лишь один пример на умножение, 7х5=35, и один пример на деление, 20:3=6(2 в остатке):

 

 

Обратим внимание, что во всех операциях, кроме деления, имелась полная определённость с разрядами, поэтому нуль изображался отсутствием шашки.

При операции деления такая определённость пропала, поэтому нуль необходимо изображать явно. Можно, например, шашку перевернуть, как будто это дамка, и договориться, что так будем изображать нуль.

Вот и всё. Все главные особенности арифметических операций уже освоены. Теперь, для того, чтобы научиться вычислениям в десятичной системе, достаточно лишь выучить десятичные таблицы сложения и умножения.

5. Какую ещё пользу можно извлечь из знания двоичной системы?

Оказывается, из двоичной системы счисления можно легко перейти в четверичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления, которые применяются в низкоуровневом программировании и вообще в компьютерной документации.

Но об этом писать не буду, —  в Интернете и так много информации, см., например, "Система счисления".

©   А.А.Дмитриевский.

 

 

Комментарии (8)

Галактион - Ср, 27/11/2013 - 12:27

Уважаемый Александр Антонович.

  1. Вы показали, что каждый организм вида Homo sapiens, который наделён наглядно-действенным мышлением, способен выполнять четыре арифметические операции с натуральными числами, если эти числа закодированы в двоичной системе исчисления (например, с помощью шахматной доски и шашек).
  2. Если организм вида Homo sapiens способен различать "герб" и "решётку", тогда он может использовать однокопеечные монеты [вместо шашек и пешек] при выполнении арфиметических операций в двоичной системе счисления.
  3. Также Вы показали, что арифметика могла появиться и/или появилась до появления письменности.

 

 

admin - Ср, 27/11/2013 - 18:42

Уважаемый Галактион.
Насколько мне помнится, в книге Ю. Г. Переля «Астрономия в древности и в средние века» есть указание на то, что русские крестьяне пользовались двоичной системой исчисления в хозяйственных расчётах.

 

Галактион - Чт, 28/11/2013 - 22:58

Уважаемый Александр Антонович.


Возможно, излагаемая ниже информация представляет для Вас интерес.


1. Вчера я предложил С. научиться складывать числа, записанные в двоичной системе счисления, руководствуясь Вашим методом (с незначительными модификациями).


2. Сегодня С. уже объяснил своей маме, как следует складывать числа в двоичной системе счисления, руководствуясь Вашим методом.


3. Отвечая на вопрос своей мамы, С. сказал, что ему больше нравится метод сложения чисел в двоичной системе счисления, который предложен Вами.


4. Несколько дней назад С. исполнилось 5 лет и 9 месяцев.

admin - Пт, 29/11/2013 - 09:07

Я очень рад, что моё сообщение оказалось Вам полезным.
Желаю Вам всего наилучшего.
Галактион - Сб, 30/11/2013 - 00:27

Ежегодно, в России рождается приблизительно 2 млн. детей. Следовательно, ежегодно около 2 млн. мам желают, чтобы их сыночки и/или доченьки научились складывать числа.
Галактион - Сб, 30/11/2013 - 16:35

Уважаемый Александр Антонович.


Планируете ли Вы запатентовать метод обучения детей сложению чисел в двоичной системе счисления?


P.S. Если у Вас будет желание и возможность, тогда сообщите мне способ включения матриц в комментарии на Вашем сайте.

admin - Сб, 30/11/2013 - 20:56

Уважаемый Галактион!

Если Вы хотите публиковать сложные математические конструкции, то напишите мне письмо, например, в Ворде. Мой (админа) адрес есть внизу каждой страницы сайта. Я сам сделаю всю техническую работу по публикации.

Патентовать метод не планирую. Потому что
1. Метод очевидный, каждый может сочинить нечто подобное.
2. Едва ли будет коммерческая выгода.
3. Сейчас патентование невозможно: сообщение опубликовано 08 сентября 2010 года, и теперь его содержание — общенародное достояние.

 

Галактион - Сб, 30/11/2013 - 23:23

Уважаемый Александр Антонович.


1. Я не согласен с Вами, что "метод очевидный, каждый может сочинить нечто подобное".


2. Видимо, Вы не согласитесь со мной, что Ваш "этнический стереотип поведения" очень похож на "этнический стереотип поведения" изобретателя термоядерной бомбы, изобретателя автомата АК, изобретателя танка Т-34, изобретателя межконтинентальной баллистической ракеты, первооткрывателя второй сигнальной системы, первооткрывателя эпосов в прозе, первооткрывателя Антарктиды и т. д.