5. Основные циклы

Арифметически законченные лунно-солнечные системы основаны на двух астрономических постоянных: длине года (365^d,2422) и длине синодического месяца (29^d,5306). Пользуясь этими точными данными, весьма просто решить основную задачу лунно-солнечного счисления, т. е. установить, сколько месяцев соответствует целому числу солнечных лет, и как наиболее выгодно чередовать короткие 12-месячные лунные годы с 13-месячными, эмболисмическими, чтобы в течение всего периода держать начала лунных лет возможно ближе к какому-либо моменту астрономического солнечного года, например к равноденствию. Можно было бы воспользоваться для этой цели либо арифметической теорией подходящих дробей, либо более простым приемом, примененным при вычислении магометанских циклов.

Но необходимо помнить, что древние при разыскании таких периодов не располагали только что приведенными точными данными. Напротив, они постепенно подходили к этим значениям путем длинного процесса последовательного приближения; открывая различные соизмеримости между годом и месяцем, т. е. находя такие кратные от числа лунных месяцев и солнечных годов, которые дают одно и то же, и притом близкое к целому, число дней, они постепенно улучшали исходные значения обеих искомых величин. Тот процесс, которым они при этом шли, в точности неизвестен. Но ввиду важности вопроса полезно хотя бы предположительно его восстановить.

В этом исследовании будем предполагать данным только следующее: солнечный год составляет приблизительно 365¼ дней; лунный месяц равен 29½ дням; в календаре можно считать либо пустые, либо полные месяцы.

Самое грубое наблюдение показывает, что 3 года (1095 дней) соответствуют приблизительно 37 лунным месяцам (12 · 3 + 1); действительно, сделав из них 19 полных и 18 пустых, получим:

19 · 30 + 18 · 29 = 1092 дня.

Так, если в данное равноденствие случилось полнолуние, то через три года в этот момент Луна снова будет близка к полнолунию.

Более точные наблюдения приводят к составлению восьмилетнего периода; в самом деле, взяв 99 месяцев и сделав из них 51 полный и 48 пустых, найдем:

51 · 30 + 48 · 29 = 2922 дня.

Но и восемь лет (365¼ · 8) составляют тоже 2922 дня; поэтому через восемь возвращений Солнца к равноденствию Луна должна снова вернуться к исходной фазе.

Попробуем теперь объединить оба периода, 3- и 8-летний, в один общий, 11-летний; затем вновь соединим 8- и 11-летние периоды в новый, 19-летний1. Мы получим вполне определенные совокупности пустых и полных месяцев, равно как и соответствующее им целое число дней. Если это число дней плохо согласуется с кратными действительных, астрономических месяцев, то к концу периода новолуния сдвинутся в календаре с 1-го числа и с повторением периодов будут все дальше отходить от этой даты. Ошибку в отношении Солнца, т. е. сдвиг начальных моментов периодов от равноденствия, оставим пока без внимания. Сведем все эти данные в таблицу (табл. 8).

Таблица 8 

Мы видим, что такое наслоение периодов ни к чему не ведет; ошибка все время возрастает. Но мы можем легко поправить дело, именно положить 8-летний период равным 2924 дням, что, как мы знаем, ближе к истине, чем 2922 дня; для этого достаточно два месяца из числа пустых сделать полными; тогда операция соединения периодов даст уже совершенно иную картину (табл. 9).

Таблица   9                          

Одного взгляда на эту таблицу достаточно, чтобы оценить все преимущества периода, устроенного, как указано в последней строке; в отношении Луны он дает на 235 месяцев довольно слабую ошибку в 0,31 дня. Средний месяц, т. е.  дней или 29^d12^h46^m, выходит только на 2 минуты длиннее астрономического; длина года получается равной  дней или 365^d6^h19^m, т. е. приближается к величине 365¼ дня; а эта величина долгое время считалась у греков незыблемой истиной. Все прочие периоды, т. е. 3-, 8- и 11-летний слишком сильно расходились либо с Луной, либо с Солнцем.

Итак, естественным образом, греки могли подойти к знаменитому соотношению Метона (432 г. до н. э.): 235 месяцев, считая в том числе 125 полных и 110 пустых, а всего 6940 дней, соответствует 19 солнечным годам.

Такой цикл осуществляется включением 7 эмболисмических месяцев на 19 лунных лет (12 · 12 + 13 · 7 = 235 месяцев).

Выведенное сейчас соотношение справедливо считается одним из шедевров греческой астрономии. Но нужно помнить, что не только греки, но, в различные эпохи, вавилоняне и евреи, индусы и китайцы пользовались им. Познание его составляет как бы часть основного запаса научных сведений человечества. Однако греки пошли значительно дальше, внеся в полученное соотношение две поправки: Калиппа (330 г. до н. э.) и Гиппарха (125 г. до н. э.).

Поправка Калиппа. Длина солнечного года, выведенная из круга Метона, слишком велика. Действительно, мы имеем:

  дня.

Но, согласно египтянам, солнечный год равен

  дня.

Итак, солнечный год в круге Метона на ¹/₇₆ дня длиннее, чем следует; за 76 лет календарь должен уйти от Солнца на 1 день.

Поэтому естественно сократить четыре метоновых периода на 1 день, сделав один пустой месяц там, где полагался полный. Тогда получится:

76 лет по 365¼ дней = 27.759 дней;

с другой стороны,

499 · 30 + 441 · 29 = 27.759.

Поэтому можно положить:

76 лет (юлианских) = 940 лунных месяцев, при 441 пустых и 499 полных, = 27.759 дней.

Эта поправка удачная; она правильно укорачивает длину солнечного года и наряду с тем дает хороший результат для Луны; лунный месяц выходит равным 

  дней = 29^d12^h44^m25^s,

так что в длине его остается сшибка всего в 22^s.

Поправка Гиппарха. Этот астроном первый отрешился от догмата, что в году 365¼ дней; в этом состояло следствие его гениального открытия предварения равноденствий: он вывел путем сравнения своих собственных наблюдений с более древними, что за 147 лет равноденствие предварилось на ½ суток2. Отсюда он сделал правильное заключение, что длина египетского солнечного года, года Сириуса, должна быть слишком велика, приблизительно на 720 : 147 минут, т. е. на 4^m48^s. Исходя из того, что 4^m48^s составляют приблизительно 1/300 дня, Гиппарх считал, что длину четырех калипповых периодов (4 · 76 = 304 года) надлежит снова укоротить на один день; таким образом, он получил:

304 солнечных года = 27.759 · 4 – 1 = 111.035 дней, или 940 · 4 = 3760 лунных месяцев.

Эта поправка, в свою очередь, улучшала соотношение не только для Солнца, но и для Луны; из определения Гиппарха выходило:

1 солнечный год =  дня = 365^d5^h55^m16^s,

1 лунный месяц =    дня = 29^d12^h44^m2^s,5

Таким образом, в длине солнечного года остается, против астрономического определения, ошибка всего в 6½ минут (см. пункт 2. Длина солнечного года); в длине месяца ошибки фактически уже больше нет3 (см. 2. Лунный месяц).

Заметим, что разность между «месяцем Калиппа» и «месяцем Гиппарха» составляет:

  дня.

Поэтому 3.760 «месяцев Калиппа» на 1 день длиннее того же числа «месяцев Гиппарха». Но 3.760 месяцев Калиппа равны:

юлианским годам.

Таким образом, мы приходим к равенству:

304 юлианских года = 3.760 месяцев Гиппарха + 1 день.

Если считать «месяц Гиппарха» астрономически окончательно верным, то это приводит к формулировке: за 304 юлианских года фазы Луны сдвигаются в юлианском календаре на один день назад.

Этот окончательный и важный результат не получил, однако, применения в календарном деле. Даже и 76-летними периодами Калиппа пользовались исключительно греческие ученые и хронологи. Так, например, Птолемей в «Альмагесте» датирует годы в калипповых периодах (начало первого периода падает на 28 июля 330 г. до н. э.), а числа месяцев в египетском календаре — любопытное соединение двух совершенно различных систем.

Приведем численную иллюстрацию результата Гиппарха; для этого составим таблицу действительных астрономических новолуний для 284 г. н. э. (с ним связаны основные вычисления пасхалии) и сравним их с датами соответствующих новолуний для 1500 г. Так как эти годы отделены промежутком в 1216 (304 · 4) лет, то следует ожидать сдвига новолуний в среднем на 4 дня. Вычисления же дают следующий результат (табл. 10).

Таблица 10 

Вся остающаяся здесь невязка падает на счет юлианского календаря; если бы наш солнечный календарь был составлен по циклу Гиппарха, то 4 периода были бы укорочены на 4 дня, и ошибка к концу всего интервала свелась бы практически к нулю. Следовательно, если бы построить солнечный календарь по Гиппарху и расписать, на какие числа падают в нем новолуния, то они все возобновились бы на тех же датах через 304, 608, 912 и т. д. лет, одним словом, было бы достигнуто полное выравнивание календаря с Луной. Однако система осталась бы все-таки несовершенной, так как в календаре Гиппарха астрономическое равноденствие отходило бы от момента, назначенного для него в календаре, за каждые 304 года на 6^m,5 · 304, или приблизительно на 1^d9^h.

Устранение этого последнего дефекта заставило себя долго ждать: оно было осуществлено, и притом с большим успехом, только в эпоху Возрождения при григорианской реформе церковного календаря.

• 1. Арифметически это соответствует образованию промежуточных подходящих дробей. Здесь получаются подходящие 25/2, 37/3, 99/8, 136/11, 235/19.
• 2. Этот термин имеет здесь, так же как и в пункте 2. Длина солнечного года, исключительно календарное значение; см. Дополнение I.
• 3. Уже в III в. до н. э., т. е. за 300 лет до Гиппарха, вавилонские астрономы пользовались определением длины лунного месяца, которое в пределах вычислительной точности совпадает с данными Гиппарха (по Kugler'y 29^d12^h44^m3 1/3^s). Тут очевидна некоторая, не вполне еще раскрытая, преемственность культур. Но в отношении Солнца вавилоняне остались далеко позади греков; в их таблицах равноденствие показывается с ошибкой в несколько дней. Только греческая наука сделала тут решительный шаг вперед.