Table of Contents 

1.

Может ли в геометрии Лобачевского сумма углов произвольного выпуклого четырехугольника равняться 4d? Подумайте, а затем см. указание 117.

2.

Входит ли в абсолютную геометрию следующее предложение: «Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним»? Если ответ на этот вопрос вызовет затруднение, то см. указание 118, в котором приводится доказательство теоремы о внешнем угле треугольника. Если же ответ может быть дан сразу, то см. указание 124.

3.

Входит ли в абсолютную геометрию следующее предложение: «Все вписанные в окружность углы, стороны которых проходят через две данные точки окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точки, равны»? См. указание 119.

4.

Известные из школьного курса математики три признака равенства треугольников входят в абсолютную геометрию, т. е. они имеют место как в геометрии Евклида, так и в геометрии Лобачевского. Однако в геометрии Лобачевского имеется еще и четвертый признак равенства треугольников. Этот признак читается так: «Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны». Как доказать этот признак? Это совсем просто, если вспомнить один факт, упоминавшийся ранее. См. указание 120.

5.

Пусть дан угол, меньший 2d. Оказывается, в геометрии Лобачевского существует единственная прямая, параллельная обеим сторонам этого угла  (в противоположных направлениях). Для доказательства этого предложения надо использовать одну своеобразную теорему геометрии Лобачевского. Заметим, что предложение «Каждый угол можно единственным образом разделить пополам» входит в абсолютную геометрию. Если вам требуется подсказка, то см. указание 121. Если же вы самостоятельно справились с вопросом, то см. указание 125.

6.

Входит ли в абсолютную геометрию следующее предложение: «Если при пересечении двух прямых с третьей соответственные углы равны, или внутренние накрест лежащие углы равны, или сумма внутренних односторонних углов равна 2d, то данные прямые не пересекаются»? Найдите доказательство этой теоремы в школьном учебнике геометрии для VI класса. Затем подумайте и см. указание 122.

7.

Справедливо ли утверждение: «Предложение

Через точку, лежащую вне прямой в плоскости, ими определяемой, проходит по крайней мере одна прямая, не пересекающая данной

входит в абсолютную геометрию»?

Подумайте, а затем см. указание 123.

8.

Пусть даны две расходящиеся прямые (следовательно, речь идет о геометрии Лобачевского). Могут ли они иметь два общих перпендикуляра? Ответ проверьте по указанию 126.

9.

Можно ли проверить непротиворечивость системы аксиом I группы Гильберта1 (см. §9) при помощи следующей модели: дан треугольник, в котором центр вписанной окружности соединен с вершинами? Если ответ готов, то см. указание 127.

10.

Система аксиом, как известно, должна удовлетворять требованиям непротиворечивости, независимости и полноты. Что касается требований непротиворечивости и полноты, то эти понятия были разъяснены соответственно в параграфах 16 и 21. Требование же независимости заключается в следующем: любая аксиома не может быть получена как следствие остальных аксиом.

Например, если восьмая аксиома I группы системы Гильберта могла бы быть получена из предыдущих предложений, то данная совокупность аксиом не отвечала бы требованию независимости.

Каким же образом можно проверить требование независимости? Характерный прием доказательства независимости какого-либо предложения  A заключается в следующем: строят модель системы аксиом без аксиомы A. Если эту модель удается построить, то предложение A не зависит от остальных аксиом. В противном случае в модели имело бы место предложение A.

Теперь прочитайте систему аксиом, приведенную в §17. Как доказать, что предложение A4 не зависит от первых трех аксиом? Свой ответ вы можете проверить по указанию 128.

11.

Вам предлагается еще один вопрос, связанный с предыдущим: почему можно утверждать, что в геометрии Евклида аксиома параллельности (предложение Плейфера) не зависит от остальных аксном? См. указание 129.

12.

В §34 мы узнали, что теорема Пифагора является эквивалентом предложения: «Сумма углов треугольника равна     2d. В процессе доказательства был установлен лишь частный случай: «Теорема Пифагора является эквивалентом предложения: сумма углов прямоугольного равнобедренного треугольника равна 2d».

Вопрос. Корректно ли приведенное ниже доказательство предложения: «Если сумма углов прямоугольного равнобедренного треугольника равна 2d, то сумма углов любого прямоугольного треугольника равна 2d»?

Доказательство. Пусть дан произвольный прямоугольный треугольник АВС (угол В прямой). На катете ВС отложим отрезок ВE, равный отрезку АВ (рис. 45). Треугольник АВE  прямоугольный равнобедренный. Сумма его углов по условию равна 2d. Поэтому ∠ВАE = ∠ВEА = 45°. Угол ∠АEC равен 135° (как смежный углу 45°). Достроим треугольник АВС до прямоугольника АВСD. Угол 2 равен углу 3 (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных АD и ВС и прямой АС). Сумма углов треугольника АВС может быть представлена так:

В + ∠2 + ∠1 + ∠ВAE= d  + ∠З + ∠1 + ∠ВAE = d + d = 2d.

Итак, корректно ли это доказательство? Подумайте, затем см. указание 130.

13.

Для того чтобы вполне корректно доказать предложение о сумме углов произвольного прямоугольного треугольника (если сумма углов равнобедренного прямоугольного треугольника равна 2d, то сумма углов произвольного прямоугольного треугольника также равна 2d), необходимо провести небольшую подготовительную работу.

Напомним определение дефекта треугольника: дефектом треугольника называется разность 2dS(АВС), где S(АВС) — сумма углов треугольника.

Дефект треугольника неотрицательное число, так как по теореме Лежандра в абсолютной геометрии сумма углов треугольника не превосходит 2d, т. е. S(АВС) ≤ 2d(см. §53). Дефект треугольника обладает свойством аддитивности (см. §56).

Докажем теперь одно свойство дефекта треугольника, которое понадобится нам в дальнейшем. Пусть дан произвольный треугольник АВС. Соединим вершину В с произвольной точкой отрезка АС (рис. 46).

D(АВС) = D(АВD) + D(ВDС);

D(АВD) = D(АВС) – D(ВDС).

Сравним дефект треугольника АВD с дефектом треугольника АВC. Какой вывод можно сделать? Подумайте, а затем см. указание 131.

14.

Мы готовы теперь к тому, чтобы доказать предложение: «Если сумма углов равнобедренного прямоугольного треугольника равна 2d, то сумма углов всякого треугольника также равна 2d».

Предварительно докажем это для случая произвольного прямоугольного треугольника. Для облегчения дальнейшего рассуждения заметим следующее. Неравенство ab состоит из двух утверждений a < b, a = b. Неравенство ab считается верным, если хотя бы одно из указанных утверждений верно.

Итак, пусть дан произвольный прямоугольный треугольник АВС с катетами АВ и АС. Условимся, что АВАС. На луче АВ от вершины А отложим отрезок АD, равный отрезку АС. Затем на луче АС от вершины А отложим отрезок АE, равный отрезку АВ. Получим два равнобедренных треугольника АВE и АDС (рис. 47). Для того чтобы сделать вывод о сумме углов прямоугольного треугольника АВС, необходимо сравнить дефекты треугольников АDС и АBE, с дефектом треугольника АBС. Подумайте, а затем см. указание 132.

15.

Итак, осталось сделать последнее усилие, чтобы завершить доказательство предложения: «Если сумма углов равнобедренного прямоугольного треугольника равна 2d, то сумма углов произвольного треугольника также равна 2d».

После проделанной подготовительной работы это осуществить довольно просто. Подумайте, а затем см. указание 76.

16.

В §59(1) упоминался следующий факт геометрии Лобачевского: «Если прямая RS параллельна прямой CDвправо, то расстояние от точки, лежащей на прямой RS до другой параллельной CD, неограниченно убывает при перемещении этой точки вправо, т. е. в сторону параллельности» (рис. 48). В соответствии с этим свойством при движении точки E вправо расстояние х неограниченно убывает.

Пусть прямая RS параллельна прямой CD вправо. Из произвольных точек A и E прямой RS опустим перпендикуляры AB и EF на прямую CD (рис. 49). Обратим внимание на то, что углы α и β — это соответствующие углы параллельности. Следовательно, углы α и β острые. Это можно установить, рассмотрев четырехугольник. Сумма углов в нем, как уже говорилось, меньше 4d другой стороны, АЕF + β =2d. Из этих соотношений можно сделать вывод, что α < β (если это неясно, то см. указание 135). Как завершить доказательство рассматриваемого свойства? Если у вас возникнут трудности, то предварительно прочитайте §61(1 — 3). Свой ответ вы можете проверить по указанию 136.

 

  • 1.

    1. Каковы бы ни были две точки А и В, существует прямая, проходящая через каждую из точек А и В.

     

    2. Каковы бы ни были две различные точки А и В, существует не более одной прямой, которая проходит через каждую из точек А и В.

     

    3. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.

Добавить комментарий

Plain text

  • HTML-теги не обрабатываются и показываются как обычный текст
  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.
CAPTCHA
Этот вопрос задается для того, чтобы выяснить, являетесь ли Вы человеком или представляете из себя автоматическую спам-рассылку.