Риманова геометрия и геометрия Римана

 

Так что же такое — новое, неожиданное — заключалось в римановой «пробной лекции», что привело Га­усса «в состояние наивысшего изумления»?

А если шире — то в чем оно, главное отличие под­хода Римана к геометрии от подхода трех героев на­шей повести1 , и почему мы говорим, что Риманом был сделан следующий шаг вперед?

Кратко, схематично это можно объяснить так. Лоба­чевский, Гаусс и Бойяи хотя и говорили о неудовлетво­ренности вообще основами эвклидовой геометрии, но, по существу, сосредоточили весь огонь критики только лишь на одном узле противоречий, связанном с пятым посту­латом. И всю мощь своего гения употребили, чтобы стереть именно это темное пятно. Здесь они преуспели полностью. Доказав, что пятый постулат есть сознатель­но выбранный краеугольный камень геометрии Эвклида, они заменили его другим постулатом и на этом новом фундаменте создали новую геометрию — так называе­мую гиперболическую. Геометрию пространства отри­цательной кривизны... Первую из неэвклидовых геометрических систем...

Риман целиком пересмотрел основы геометрии Эвкли­да, вместо них предложил свои собственные принципы построения геометрии, исходя из весьма общих соображений. Отсюда логически возникла возможность сущест­вования целых классов неэвклидовых геометрий — и са­мой различной пространственной структуры (а не толь­ко «плоской», с нулевой кривизной, как пространство Эвклида), и многих измерений (а не только трех, как у Эвклида). Притом Риман указал на один из наибо­лее простых частных случаев, на геометрию, описываю­щую пространство постоянной положительной кривизны. Позже, по аналогии с гиперболической геометрией, царящей в пространстве постоянной отрицательной кри­визны, неэвклидова геометрия этого вида получила на­звание эллиптической. Еще ее называют геометрией Римана — в отличие от римановой геометрии: неэвклидовой геометрии вообще, в самом широком смысле слова, охватывающем все частные случаи.

Такова главная особенность нового подхода, нового взгляда Римана на содержание и сущность геометрии. В этой общности решения проблемы и заключается шаг вперед, в ней же и кардинальное отличие труда Рима­на от трудов Лобачевского, Бойяи и Гаусса.

Правда, с другой стороны, а может, именно благо­даря этой общности, Риман дал только определяющие идеи, тогда как Лобачевский и Бойяи построили закон­ченные теории своей геометрии, да и Гаусс в тех не­многих отрывках, которые он оставил, тоже проделал основные математические расчеты. Недаром Янош Бойяи писал, что «три человека, ничего друг о друге не зная, почти в одно и то же время, хотя и различными путями, почти полностью исчерпали вопрос».

В гиперболической геометрии все главное было сде­лано Лобачевским. На долю следующих поколений ос­талось прежде всего развитие ее приложений к механи­ке и физике да поиски моделей, в которых она могла бы обрести некоторую наглядность для нас, жителей эвклидова пространства.

Миры римановой геометрии во всем их многообра­зии стали раскрываться перед математиками лишь пос­ле смерти их создателя, и еще неизвестно, когда эта область науки исчерпает себя до конца.

Риман назвал свою пробную лекцию «О гипотезах, лежащих в основании геометрии». Мы уже говорили, что этот математический труд лишен математического антуража — в нем отсутствуют формулы и какие-либо расчеты. Но в каждой фразе заключено огромное, без преувеличений, содержание. Тома и тома сочинений посвящены изложению, толкованию и развитию этих идей. Очень много крупных математиков последующих десятилетий, включая и нынешние поколения, избрали своей специальностью неэвклидову геометрию и топологию, зерна которых посеял Риман в «пробной лекции». Не говоря уже о том, что эти предметы занимают сущест­венное место в курсах высшей математики. И что им по­священа также популярная литература разной степени сложности 2.

...А теперь перенесемся в аудиторию философского факультета и вместе с членами коллегии послушаем «пробную лекцию».

— Общеизвестно, — начал Риман, — что геометрия предполагает заданными заранее как понятие пространства, так и первые основные понятия, которые необхо­димы для выполнения пространственных построений. Она дает номинальные определения понятий, тогда как существенные свойства определяемых объектов входят в нее в форме аксиом.

Так в нескольких словах Риман напомнил принцип построения геометрии: «первые основные понятия» — мы привыкли называть их «определениями» — действи­тельно задаются сразу, заранее; и самые существенные их свойства так же заранее определяются аксиомами.

Это и вправду общеизвестно — в том числе, вероятно, было известно и членам коллегии философского факультета. Тогда, может, и начинать с этого не стоило? Но Риман вовсе не собирался вещать банальности. Он начал так лишь для того, чтобы высказать свое суждение о существующих основах геометрии.

Как мы помним, надежность камней, положенных в фундамент геометрии, вызвала доверие далеко не у всех. А как можно быть спокойным за прочность здания, ес­ли ненадежен фундамент?

— При этом, — подчеркивал и Риман, — взаимоотно­шения между этими предпосылками остаются невыяс­ненными: не видно, является ли, и в какой степени, связь между ними необходимой; не видно так же а priori, возможна ли такая связь. Начиная от Эвклида и кончая Лежандром (я называю наиболее выдающегося из новейших исследователей основ геометрии), ни ма­тематиками, ни философами упомянутые неясности не были устранены.

Здесь хочется снова прервать Римана и отметить две вещи. Во-первых, слова «кончая Лежандром» позволяют заключить, что Риман ничего не знал ни о Лобачев­ском, ни о Бойяи. По-видимому, даже идеи живущего с ним бок о бок Гаусса оставались скрытыми от него. Во-вторых, Римана, как и трех упомянутых математи­ков, как и некоторых их предшественников, не удовлет­воряют основания, на которых построена геометрия Эв­клида. Но «формула обвинения» новая; у Римана свои претензии к основам ее, корень зла он видит в ином:

— Причина этому обстоятельству, как я полагаю, заключается в том, что общая концепция многократно протяженных величин, к которым относятся пространственные величины, осталась совсем не разработанной.

Отсюда естествен переход Римана к замыслу своей работы:

— Я поставил перед собой задачу — исходя из об­щего понятия о величине, сконструировать понятие мно­гократно протяженной величины. Мы придем к заклю­чению, что в многократно протяженной величине воз­можны различные мероопределения, и что пространство есть не что иное, как частный случай трижды протя­женной величины.

В этом абзаце заключено очень большое содержание.

Прежде всего ставится цель — сконструировать (ина­че говоря, построить по законам математики и логики) на основании общего понятия о величине (то есть на очень широкой основе, потому что понятие величины много шире понятия пространственных величин — так, например, есть величина массы, величина силы, величи­на скорости, величина температуры, величина времени и многие другие типы величин, в том числе и чисто ма­тематического характера) классы так называемых «про­странств» или многократно протяженных величин раз­личного типа — таких, где единица измерения принадле­жит к данному типу величин, а вовсе не есть непременно единица длины, как в обычном нашем пространстве.

Поэтому в таких «сконструированных» пространст­вах возможны различные «мероопределения», то есть различные законы построения и измерения фигур, ины­ми словами, возможна разная геометрия.

И, наконец, слово «пространство» Риман оставляет только за нашим реальным пространством, в котором мы живём. Остальные же, построенные логически, он на­зывает «многократно протяженные величины». Тем самым он четко отделил физическое рассмотрение окру­жающей нас природы от математического.

В этой связи Риман сразу же отвечает и на один из главнейших вопросов философии естествознания: можно ли геометрию нашего реального пространства по­лучить чисто логическим путем, пользуясь лишь способ­ностями нашего разума?

— Необходимым следствием отсюда является то, — говорит Риман, — что предложенная (то есть эвклидо­ва) геометрия не выводится из общих свойств протяжен­ных величин, и что, напротив, те свойства, которые вы­деляют пространство из других мыслимых трижды про­тяженных величин, могут быть почерпнуты не иначе как из опыта.

Итак, чистая математика никогда не сумеет сделать выбора и сказать, каково оно, истинное строение наше­го пространства. Эту задачу в состоянии решить лишь физический эксперимент и расчеты, основанные на реальных, полученных из наблюдений характеристиках нашего мира. И, однако, каким бы ни оказался ответ, в лекции Римана, как прежде в трудах Лобачевского и Бойяи, человечество вышло из рамок плоского трехмер­ного мира. Оно, пусть пока в математических символах, открыло для себя новые пространства — может, одно из них и окажется истинным пространством Вселенной. Мир науки, а значит и мир людей стал богаче и шире. В этом смысл и значение лекции Римана. В этом глубокая кра­сота ее.

Из слушателей этот смысл и красоту мог оценить один лишь Гаусс, а из всех людей на земле — вероятно, ещё Лобачевский и Бойяи. Как бы отлично получилось, окажись они все в тот день в Геттингене. Но история не часто бывает хорошим режиссером...

Некоторые считают, что идеи, которыми наполнена «пробная лекция», носились в воздухе, ими была насыщена атмосфера Геттингена. Считают, что открытие уже созрело и лишь ждало кристаллизации. Отсюда удивле­ние, что не Гаусс оказался его творцом. В этом смысле говорят, будто Риман отдал человечеству то, что задол­жал ему Гаусс.

Однако никак нельзя сказать, что Риман стал душеприказчиком старого геттингенца. Наоборот, всем известно, что общались они крайне мало. И Риман никог­да не был в числе тех немногих приближенных, с кото­рыми король математики делился сокровенными мысля­ми. Возможно, до него все же дошли слухи о том, что Гаусс измерял углы какого-то треугольника. Хотя изме­рения Гаусс проводил в глубокой тайне, может, спустя тридцать лет Риман случайно узнал о них, равно как и об отрицательном их результате. Но едва ли... Скорее всего, из творчества Гаусса Риман знал лишь то, что было опубликовано. Уже говорилось, что когда Гаусс занимался геодезией, он создал теорию поверхностей, которую потом изложил в труде «Общие исследования кривых поверхностей».

Поверхности. Мы встречаемся с ними на каждом ша­гу. Можно построить или зрительно представить себе огромное их количество — самой различной формы. Простейшая — плоскость; знакомая нам с детства плос­кая поверхность пола, стола, шахматной доски.

Вырежем квадрат, или треугольник, или круг. Поло­жим их на стол и начнем поворачивать, крутить, пере­двигать с места на место. При всех этих манипуляциях ничего не произойдет; ни одна из этих фигур не изме­нит своей формы — не растянется и не сожмется, не со­гнется и не перекосится, и по-прежнему всеми своими частями будет прилегать к плоскости стола.

Теперь попробуем те же квадрат, треугольник и круг, даже просто любой листок бумаги наложить на другую, не менее знакомую нам с детства поверхность — на по­верхность шара. Оказывается, все они будут «сидеть» на шаре, как плохо сшитая одежда — топорщиться, от­ставать, собираться в складки. Причина отыскивается сразу: плоскость — плоская, и фигуры наши тоже плос­кие, а шар изогнутый, поверхность его имеет кривизну.

Слово «кривизна» играет в геометрии очень большую роль. Для характеристики линий и поверхностей, для их описания понятие это в каком-то смысле решающее. Кривизна — это присущее поверхности свойство; мож­но было бы сказать: как человеку присущ его харак­тер или цвет глаз. Но нет, так сказать нельзя. Кривиз­на — это основополагающее свойство поверхности. Имен­но с ней связаны, ею определяются законы геометрии, которая действует на данной поверхности. Уж если ис­кать аналогию, то лучше сравнить кривизну со свойством человека быть человеком, homo sapiens, а не пред­ставителем другого вида млекопитающих. А вот уж численное значение кривизны или величины ей обрат­ной — радиуса кривизны — можно сравнивать с харак­тером человека.

Если кривые и поверхности имеют сложную форму, то кривизна их может меняться от точки к точке. Поэто­му, чтобы описывать такие кривые, надо или иметь ве­личину радиуса кривизны в каждой точке, или знать закон, по которому эта величина меняется.

Так как поверхности есть более сложные образова­ния, чем кривые, — они имеют не одно, а два измере­ния, — то и понятие кривизны для них усложняется. Га­усс нашел, как описывать любую поверхность самой произвольной формы. Для этой цели следует применять так называемую гауссову, или полную, кривизну. Не будем объяснять подробно, что это такое, постараемся дать о ней лишь некоторое представление.

Если поверхность рассечь двумя взаимно перпенди­кулярными плоскостями, причем таким образом, что од­на кривая пересечения плоскости с поверхностью будет иметь в точке пересечения наибольшую для этой точки кривизну, то окажется, что кривая пересечения, лежа­щая в перпендикулярной плоскости, автоматически бу­дет иметь наименьшую кривизну. Произведение этих кривизн — наибольшей и наименьшей — и называется полной, или гауссовой, кривизной. А радиусы кривизны этих двух кривых в точке их пересечения называются главными радиусами кривизны.

Например, сечение плоскости плоскостями всегда да­ет прямые. Кривизна прямой всегда равна нулю. Зна­чит, кривизна плоскости тоже всегда равна нулю. И пол­ная кривизна цилиндрической поверхности тоже равна нулю, хотя это кажется странным на первый взгляд. Но если для определения ее поступить известным уже обра­зом, то мы увидим, что одно из взаимно перпендикуляр­ных сечений будет окружностью (сечение, перпендику­лярное образующей цилиндра), а второе — прямой (се­чение по образующей). Кривизна первой положитель­на, а второй — нулевая. Ясно, что их произведение даст нуль. В связи с этим надо отметить главное свойство гауссовой кривизны — величина ее не меняется при любом изгибании поверхности, если только последняя при этом не будет растягиваться или сжиматься. Цилиндр можно разрезать по образующей и развернуть — он пре­вратится в кусок плоскости, где кривизна, что видно и невооруженным глазом, равна нулю.

У шара обе кривизны всегда положительны. Значит, будет положительной и полная кривизна.

Мы уже познакомились с поверхностью постоянной отрицательной кривизны — с псевдосферой, когда говорили о плоскости Лобачевского. Понятно и ее название: «ложная сфера», «сфера наоборот», «антисфера» — так можно его перевести. Как и у шара, у псевдосфериче­ских поверхностей постоянная кривизна. Только знак кривизны противоположный, «минус», а не «плюс». Это получается потому, что два главных радиуса всегда име­ют противоположные знаки — один «плюс», а другой «минус». Естественно, что и произведение их всегда бу­дет отрицательным. Еще одна из псевдосферических поверхностей похожа на седло. Здесь особенно нагляд­но видно, что если одна кривая сечения будет выпуклой, с положительной кривизной, то перпендикулярная ей кривизна окажется обязательно вогнутой — с отрица­тельной кривизной.

Учение о поверхностях — большая заслуга Гаусса перед математикой. Особенно плодотворна главная его идея — изучать и описывать любую, сколь угодно слож­ную поверхность, опираясь на характеристики бесконеч­но малых ее элементов.

Но в теории Гаусса, несмотря на ее широту и общ­ность, содержались и ограничения. Какие?

Прежде всего, Гаусс рассматривает лишь поверхнос­ти, то есть области двух измерений. Конечно, Гаусс и не ставил перед собой иной цели, ведь сочинение его так и называется — «Общие исследования кривых поверхностей». Так что, казалось бы, и спроса нет.

Но как все-таки быть с трехмерным объектом, с пространством — или даже с пространствами? Можно ли тут употреблять множественное число? Можно ли говорить о кривизне? Гаусс не дает ответа. Бесспорно, это лежит вне темы сочинения Гаусса. Но разве это лежало вне круга его интересов? Мы-то знаем, что мыс­ли о незвклидовой геометрии занимали Гаусса постоян­но. Значит, он понимал, что кривизна может быть при­суща не только поверхности, но и пространству. И что пространство поэтому может быть не только эвклидо­вым— у того кривизна равна нулю, — но и каким-то иным. То есть понимал, что логически возможно сущест­вование не одного, а двух, даже нескольких пространств.

Таково первое ограничение. Но есть и второе. Гаусс рассматривает поверхности как находящиеся в трехмер­ном эвклидовом пространстве, или, по словам Эйнштей­на, как вложенные в эвклидово пространство. Действи­тельно, все известные нам поверхности — двумерные об­разования — существуют в нашем обычном мире, но ведь на каждой из поверхностей царит своя геометрия (к примеру, еще древним были известны законы геомет­рии поверхности шара), и именно это определяет харак­тер поверхности, а совсем не то, что она находится в пространстве Эвклида. «Связывание» поверхности с эвклидовым пространством есть некоторое ограничение, и поэтому — нарушение общности подхода к задаче.

Было ли сочинение Гаусса о поверхностях трампли­ном для теории Римана? Вне сомнения, было. Но для того и трамплин, чтобы прыгнуть как можно дальше.

Свою всеобъемлющую, по существу, геометрию Ри­ман развил из двух генеральных идей. Со временем математики разглядели, что генеральные идеи были гениальными идеями. Прежде всего Риман отбросил ограни­чения при описании геометрических объектов — в этом суть первой из его идей. Тем самым он сумел достичь высокой степени общности в истолковании принципов геометрии.

Начнем с того места, где остановился Гаусс. Что но­вого вносит Риман в понятие поверхности — «дважды протяженной величины», по его терминологии? В самом наименовании в какой-то степени содержится ответ. Мы видели, какими разными бывают поверхности — от простейшей плоскости до самых сложных, и внешний вид и геометрия которых меняется от точки к точке. Общее у них только одно: все они «дважды протяженные ве­личины». Тогда разве не правильней рассматривать эти образования двух измерений сами по себе, исходя из их внутренних свойств, из присущей им геометрии? Раз­ве обязательно, как это делает Гаусс, связывать их с пространством Эвклида? Конечно, огромное их коли­чество может быть построено, или, как говорят матема­тики — осуществлено в виде поверхностей, находящихся в эвклидовом пространстве; их вполне описывает теория Гаусса.

Но ведь есть и такие, которые целиком в эвклидовом пространстве не осуществляются. В нем, например, нель­зя построить — всю целиком — бесконечную плоскость Лобачевского. На псевдосферических поверхностях, принадлежащих пространству Эвклида, можно «уложить» лишь куски плоскости Лобачевского. Значит, надо вы­рваться из эвклидова мира, чтобы не упустить возмож­ности встретить эти новые для науки творения... Чего? Природы, человеческой мысли? К этому вопросу вопро­сов мы ещё возвратимся.

Во все времена настоящего ученого никогда не по­кидает одно ощущение: как бы ни были сложны и не­ожиданны открывшиеся ему тайны мироздания, то, что сокрыто — или пока сокрыто, — неожиданней и сложнее еще во сто крат. И это постоянное ожидание чего-то со­вершенно нового, готовность к встрече с ним есть ис­тинная движущая сила науки. Так всегда было и будет.

Природа не спешит раскрыть свои секреты и под­твердить догадку человеческого ума. Но раньше или позже сдается и она. Неожиданное, «противоестествен­ное» становится бытом науки, сложное — простым и до­ступным даже рядовым служителям ее. На многовеко­вом своем пути наука претерпевает и резкие скачки. Они связаны с фундаментальными открытиями и с перево­ротами в мышлении, в миропонимании.

Одним из таких скачков было создание неэвклидовой геометрии. Общенаучное и философское значение этого открытия — в расширении поля зрения человечества, в возможности доопытного и внеопытного постижения мира — одной лишь силой мысли.

Конечно, тут не было ничего похожего на отрицание опытного познания природы вещей. Лобачевский верил в опыт, он знал, что придет время, и опыт скажет свое решающее слово. Но пока, могущественный в одном, опыт бессилен во многом другом, и здесь лидерство пе­реходит к теории, к чистому мышлению.

У Римана сила абстрактной мысли была еще боль­ше, мышление — еще шире и свободней, раскованней. Но за этим тоже стояла глубокая вера в опыт науки, опыт людей, в необходимость и неизбежность слияния этих двух форм познания. Риман, конечно, предвидел и предчувствовал всю еще не раскрытую сложность нашего реального мира. И, может быть, именно это послужило подспудной причиной стремления его освободиться от сковывающих законов пространства Эвклида. Риман хотел освободиться от ограничений и при решении част­ной задачи — при исследовании поверхностей. Вот по­чему даже поверхности, находящиеся в эвклидовом про­странстве, он предложил описывать, исходя исключи­тельно из присущих им особенностей, из внутреннего их строения. Он как бы «изымал» их на время из знакомо­го обиталища и исследовал самих по себе.

Вдумаемся в слова «дважды протяженная величи­на»; уже сам только этот термин обещает расширение и обогащение геометрии.

Человечество давно, задолго до Римана, обжило на­ше пространство — трижды протяженную величину.

Но как существует множество поверхностей, так мо­гут существовать, по крайней мере, логически, и разные пространства, разные трижды протяженные величины — и это уже открытие Римана. Могут существовать и четырежды протяженные величины, вообще — многократно протяженные. Вспомним слова: «Я поставил перед со­бой задачу сконструировать понятие многократно про­тяженной величины». Такая постановка задачи раскрыла богатые возможности для обобщения геометрии: в ней самой уже были заключены оба направления, на которых Риман стал строить свою геометрию.

Первое направление можно было, перефразируя Га­усса, назвать «общим исследованием кривых про­странств»; здесь слово «пространство» означает трехмер­ное многообразие, или трижды протяженную величину. Тогда в эту семью попадает и наше родное плоское эв­клидово пространство, и уже знакомое нам гиперболи­ческое пространство, открытое Лобачевским, и разные другие. Одно из таких возможных пространств называ­ет и сам Риман. Пройдет некоторое время, и наука с признательностью возьмет его в свой арсенал.

На втором направлении растет число измерений про­тяженности — четыре, пять, сколько угодно — «n», как говорят математики. Однократно протяженная величина — линия; дважды протяженная — поверхность; три­жды протяженная — пространство. Для большего числа измерений специальных названий нет. Поэтому говорят, что многократные протяженности образуют так называемые «гиперпространства», или «сверхпространства», различных степеней: четырехмерное, пятимерное... n-мерное — по числу своих измерений.

Эти сверхпространства, в частности, подобно нашему эвклидову пространству, могут быть «плоскими», то есть иметь нулевую кривизну. Элементы теории плоских многомерных пространств разрабатывались геометрами и до Римана. Однако такие структуры никто не мог зри­тельно себе представить. Поэтому они не вызвали до­верия у математиков. Их посчитали всего лишь услов­ностями, совершенно нереальными. В отличие от своих предшественников, Риман не ограничивается «плоским случаем». Ведь как и поверхности, многократно протяженные величины вообще-то могут иметь какую угодно кривизну. Постараемся сообразить, что же это такое — протяженная величина многих измерений, да еще некой, отличной от нуля кривизны?

Представить ее себе очень трудно. Вероятно, это опять абстракция, продукт чистой математики? Да, ка­залось бы, это все-таки лишь логически сконструирован­ное пространство, таких нет и не может быть в реаль­ной жизни, в реальной Вселенной.

Но вот появляется Минковский со своим четырехмер­ным миром пространства — времени; а затем Эйнштейн рассматривает этот четырехмерный мир уже населен­ный материей, а потому не эвклидовый, не плоский, а обладающий кривизной...

Впрочем, мы забежали вперед на полвека. Вернемся пока в Геттинген, в июнь 1854 года.

В первой части своей лекции Риман дал новое, расширенное и обогащенное содержание понятию простран­ства — он определил его как непрерывную совокупность любых однородных объектов. Притом, не обязательно геометрических. Геометрические объекты есть частный случай, один из отрядов огромного воинства всяческих множеств, имя которому — непрерывные величины. Та­кое обобщение привычного образа и было задачей Ри­мана, когда он решил «сконструировать понятие много­кратно протяженной величины».

Что это — измена геометрии?

Как раз наоборот.

Это завоевание для геометрии новых областей, о ко­торых она прежде и не помышляла. Ведь учение о пространстве — любом! — это и есть геометрия. Так Риман колоссально расширил и обогатил содержание самой геометрии.

На рубеже нашего и прошлого веков среди матема­тиков ходил такой анекдот:

— В геометрии ничего не изменится, — будто бы лю­бил повторять Гильберт, — если слова «точка», «прямая и «плоскость» заменить словами «стол», «стул» и «пив­ная кружка».

Говорил ли он так на самом деле?

Как математик, он вполне мог так сказать. Научная подоплека этого анекдота в том, что геометрия, в ши­роком своем значении, изучает определенные связи ме­жду объектами, отвлекаясь от действительных образов самих объектов. И даже в геометрии Лобачевского, ко­торая получается из эвклидовой заменой лишь одного постулата — конечно, со всеми вытекающими отсюда последствиями, странностями и неожиданностями, — да­же в гиперболической геометрии «прямая» хотя и не есть «стул», но, как мы знаем, также не есть прямая  в нашем обычном представлении.

Самое замечательное, что вся эта, казалось бы, сверхзаумная абстракция раньше или позже — как мы знаем теперь — находит свое воплощение в реальных образах, реальных явлениях природы, в том, чем ведает физика, или астрономия, или математика.

И мы понимаем, что не только, может быть, не столько логика, сколько удивительная интуиция слу­жила Риману ариадновой нитью. «Риман — типичное гениальное интуитивное дарование, — сказал математик начала нынешнего века Курант. — Вся его внутренняя настроенность и научные интересы вели к тому направлению, которое призвано было стать господствующим в математике. Его интересы распространялись на всю математику, физику, философию и физиологию. Всюду отыскивал он связи между ними... «Строгость» так вошла в плоть и кровь многих, даже выдающихся матема­тиков, что для них была совершенно исключена возмож­ность «нестрогого» и часто полного фантазии подхода. Из возникшей отсюда опасности застоя смогло вывести только то направление, которое исходит от Римана».

Может быть, у Римана своеобразие интуиции eго свя­зано с образом мышления — одновременно и математи­ческим и физическим, с таким, что ли, комплексным вос­приятием явлений — сразу под двумя углами зрения. Особенно сказалось это во второй части «пробной лек­ции», которую можно назвать — конечно, чисто услов­но — переходом от качества к количеству. Риман го­ворит:

— После того как рассмотрено понятие n–кратно протяженного многообразия... мы перейдем ко второму из поставленных выше вопросов, а именно — к исследо­ванию метрических отношений, возможных на таком многообразии.

Итак, Риман начал с того, что с помощью порази­тельной своей интуиции открыл гигантское множество самых различных пространств — многообразий. Далее, естественно, надо было научиться «жить» в этих многообразиях. Чтобы жить в любой стране, в любом общест­ве, необходимо прежде всего знать действующие там законы. И, конечно, следовать им. Римана можно было бы назвать законодателем открытых им стран. Но это будет не совсем точно. Он пришел туда не как завоеватель, навязывающий свои установления. Да и «страна науки», в отличие от стран людей, никогда не позволит навязать ей что-либо чуждое. Он пришел как мудрый и вдумчивый исследователь, раскрывающий то, что бы­ло глубоко запрятано.

Прежде всего требовалось установить конституцию — строение пространства. Это значит — найти гео­метрию, ему присущую, научиться строить в нем фигуры и измерять их, то есть, говоря коротко, установить его метрику. Метрикой какого-либо геометрического объек­та — поверхности, пространства, гиперпространства — называется закон определения расстояния между двумя точками этого объекта; закон, действительный везде, где бы мы ни взяли эти две точки. Метрика определяет все те главные свойства геометрического объекта, которые связаны с измерениями, то есть и кривизну, и всю его геометрию.

Риман предлагает общий универсальный принцип: метрические отношения следует искать и фиксировать в бесконечно малой области пространства. Иными словами пространство надо мерить бесконечно малыми ша­гами. Почему предложен именно такой путь?

Потому что для каждого явления природы, принад­лежит ли оно «ведомству» математики или физики, в бесконечно малой области действуют более простые за­коны и в то же время явственно обнажается суть явле­ния, особенности, характерные для данного момента времени и данной точки пространства.

В макропроцессах явление предстоит перед исследователем, так сказать, в интегральной форме, в некоем конечном результате. Но если раздробить его до «кле­точного» состояния, зафиксировать в бесконечно малом элементе пространства и времени, то законы его пове­дения упростятся. Значит, их будет легче обнаружить и сформулировать математически. А потом уже можно их обобщать, распространять на большие области.

Чтобы не впасть в ересь, надо сделать одну оговор­ку. Когда речь идет о физике, то имеются в виду, так сказать, макроявления. И «дробить» их надо до тех пор, пока изменения будут все еще оставаться количествен­ными. Молекула воды есть все-таки вода... Но в микромире царствуют совсем иные законы. Тут лежит грани­ца, которую преступать нельзя. Тут необходим совсем особый подход, особый метод изучения. О геометрии микромира мы еще расскажем.

Вторая генеральная идея Римана — это и есть определение метрики многообразия в бесконечно малой об­ласти его. Как сказал советский геометр Каган, «Риман расщепил пространство на бесконечно малые элементы и показал, как из упрощенной метрики элемента разворачивается метрика всего пространства».

В таком подходе Риман следовал тенденции века, особенно наглядно проявившейся в физике. Эту тенден­цию можно назвать поворотом от принципа дальнодей­ствия к принципу близкодействия.

Чтобы легче усвоить идею Римана, пойдем от прос­того к сложному. Начнем с теоремы Пифагора, причем в ее обычном, «макроскопическом» варианте.

Возьмем отрезок прямой и поместим его в прямо­угольную систему координат. Как найти его длину? Эле­ментарно — это мы проделывали в школе. Спроектируем концы отрезка на обе оси координат. Тогда длина отрезка будет равна корню квадратному из суммы квадратов обеих проекций. Почему? По формуле Пифагора. Ведь отрезок — это гипотенуза, а его проекции — катеты.

Сопоставляя свое построение с написанной форму­лой, увидим, что длина отрезка обозначается не только числом, но и неким математическим выражением — на­зовем его квадратичной формой. Очевидно, имя выбрано удачно, так как главная, определяющая часть нашего выражения есть сумма квадратов. С помощью такой квадратичной формы мы можем производить измерения расстояний на плоскости. Значит, мы получили закон измерения, а, следовательно, и характеристику внутрен­них свойств, метрику одного геометрического объекта — плоскости.

Наученные Риманом, мы теперь знаем, что закон этот можно обобщить. Заменяя две оси, а значит и две проекции, два, так сказать, «катета» тремя, получим квад­ратичную форму для отрезка, находящегося в трехмер­ном пространстве. И дальше, обобщая подобным же образом, найдем квадратичную форму для «плоских» про­странств n измерений. Но как плоскость есть частный случай двумерного многообразия — поверхности с какой угодно, постоянной или меняющейся, кривизной, так и любое n-мерное «плоское» пространство есть частный случай n-мерного многообразия с произвольной, тоже либо постоянной, либо переменной кривизной. И задача состоит в том, чтобы найти метрику такого «простран­ства» многих измерений, дать общий принцип, рецепт измерения в нем расстояний. Риман его дал. Вот тут-то ему и понадобился переход к «геометрии близкодействия». Риман показал, что в бесконечно малой области любого пространства элемент длины — аналог отрезка прямой, то есть нашей гипотенузы — можно тоже опре­делять с помощью квадратичной формы. Значит, квадра­тичная форма есть также аналог, обобщение теоремы Пифагора.

Таким образом, основной, неизменно оправдываю­щийся на опыте закон «эвклидовой геометрии дально­действия» — теорема Пифагора — есть интегральное, справедливое для нашего мира выражение глубокой микрозакономерности. Вот ее суть: если точки бесконечно близки друг к другу, то есть длина отрезка бесконечно мала, то квадратичная форма будет точно описывать любое геометрическое пространство какой угодно кри­визны и числа измерений.

Вот почему мы говорим, что Риман, совершая пере­ход от эвклидовой геометрии к «геометрии близкодействия», следовал тенденции своего века — понять и объ­яснить мир, раскрывая явление в бесконечно малом.

Гаусс определял квадратичной формой расстояния в бесконечно малой области поверхности. Риман предло­жил распространить этот принцип на многообразия лю­бого характера и любого числа измерений.

Свои особенности, свой, вообще говоря, неповторимый характер каждое пространство запечатлевает в коэффициентах, в неких величинах, входящих в квадратичную форму. Потому-то эта форма, которую недаром называ­ют основной формой пространства, полностью определяет его геометрию, его метрику — и не только в малом, но и на макрорасстояниях.

Этому не надо удивляться, ведь здесь существует глубокая и однозначная связь:

основная форма определяется коэффициентами, которые присущи только данному пространству — и ника­кому другому — и возникли из его строения, из его внутренних особенностей;

в свою очередь, основная форма определяет строе­ние и внутренние особенности именно «своего» простран­ства — и в малом и в большом.

Не побоявшись вольного сравнения, можно сказать, что основная форма — это эмбрион геометрии данного пространства. Поэтому естественно, что при умелом обращении из зародыша развивается вся геометрия пространства в целом.

Основная форма может быть сколь угодно много­образной — несть числа значениям, которые могут при­нимать входящие в нее коэффициенты. Значит, сколь угодно многообразны могут быть и пространства. Они могут разниться, как уже говорилось, и числом измере­ний и кривизной. Значит, и геометрии их должны быть совершенно различны, не схожи друг с другом. Но все они, построенные по одному принципу, развивающиеся из «зародыша» основной формы, из квадратичной формы для элемента длины в бесконечно малом, стали назы­ваться   римановыми геометриями.

Обширен, прямо-таки необъятен род римановых гео­метрий (поэтому часто всю их совокупность просто на­зывают римановой геометрией, или римановой геометри­ей в широком смысле слова). Но в мире всегда и по­всюду действуют свои «законы сохранения» — выигрыш в одном сопровождается проигрышем в другом.

Как уже говорилось, выиграв в широте охвата, в общности подхода, Риман проиграл в содержании — им даны основные идеи, но детальной разработки их нет. Развитие этих идей стало делом следующих поколений ученых. Однако и Риман в своей лекции с высот обоб­щения тоже решил «спуститься» к некоторым конкрет­ным геометриям — наиболее простым, хотя, как мы зна­ем на примере геометрии Лобачевского, простота их весьма и весьма относительна.

Самый простой случай — когда кривизна всюду рав­на нулю. В одном измерении — это прямая линия, в двух — плоскость, в трех — эвклидово пространство; все хорошо знакомые нам объекты. Кривизна равна нулю и для любого n-мерного «плоского» пространства.

Но кривизна может быть отлична от нуля, хотя и постоянна. Это следует из геометрии Лобачевского, ко­торая есть геометрия не только поверхности, но и про­странства постоянной отрицательной кривизны.

А Риман? Что нового вносит он?

Риман дает более общее определение:

— Многообразия, для которых мера кривизны равна нулю, представляют частный случай многообразий, для которых мера кривизны всюду постоянна.

Это утверждение на первый взгляд кажется самоочевидным. Действительно, нулевая величина есть част­ный случай величины постоянной. Кто в этом сомневается? Но не надо забывать, что речь ведь идет не только о математических абстракциях, что место отвлеченных образов может вдруг занять реальное пространство. А вопрос о его кривизне уже далеко не тривиальный. Напротив, сейчас, в семидесятых годах двадцатого ве­ка, это одна из главнейших нерешенных проблем космо­логии. И вспомните еще с каким непониманием, даже издевательствами столкнулся Лобачевский, когда он за­говорил о возможности неэвклидова пространства.

Итак, постоянная кривизна пространства. Раз посто­янная, то она, естественно, может быть или нулевой, или всюду одинаково отрицательной, или одинаково поло­жительной. С первыми двумя мы уже более или менее освоились. Их авторы — Эвклид и Лобачевский. Третья, постоянная положительная кривизна — полная собствен­ность Римана. Поэтому геометрия пространства с та­кой кривизной называется геометрией Римана.

А могло бы сложиться иначе. Вспомним, как Саккери без колебаний отбросил «гипотезу тупого угла». Ока­жись он не столь расточительным, ростки геометрии по­ложительной кривизны могли бы появиться на свет дву­мя веками раньше. Иероним Саккери был глубоким и тонким математиком. Поэтому интересно разобраться в причине такого решения.

Саккери, как мы знаем, применил в своей работе ме­тод, который называется доказательством от противно­го, или приведением к абсурду. «Гипотезу острого угла» — из нее потом выросла гиперболическая геометрия Лобачевского — никак не удавалось привести в противо­речие с абсолютной геометрией; то есть с той частью эвклидовой геометрии, куда входило все, исключая пя­тый постулат и следствия из него. «Но я не хочу, — на­писал Саккери, — отказаться от попытки доказать, что эта упрямая гипотеза острого угла, которую я уже вы­рвал с корнем, противоречит самой себе».

Это примечание, чересчур эмоциональное для математического трактата, — свидетельство долгих, мучительных и безуспешных попыток Саккери привести к абсурду «упрямую гипотезу». Предположение о том, что сумма углов треугольника меньше двух, или, что то же самое, замена пятого постулата исклю­чающим его законом, оказались совместимы с остальными постулатами Эвклида. Саккери здесь был бес­силен...

Что же касается «гипотезы тупого угла», то Саккери без затруднения доказал, что она противоречит не толь­ко пятому постулату, но и другим основам геометрии Эвклида. Таким образом, ложность этой гипотезы не вызвала у него никаких сомнений.

Нам нет надобности повторять путь Саккери. Достаточно "столкнуть" основные принципы геометрий Римана и Эвклида, и будет ясно, в чем дело. Геометрия Эвклида строится на представлении о бесконечной протяжённости ее прямых. Об этом говорит второй постулат: «Нужно потребовать, чтобы ограниченную прямую можно было непрерывно продолжать по прямой». Ины­ми словами — продолжать как угодно далеко. А раз можно бесконечно далеко продолжать прямые линии, то так же бесконечно могут продолжаться и плоскости. Значит, и само пространство должно быть бесконечно протяженным во всех своих направлениях.

Убежденность в бесконечности пространства была полной и абсолютной у всех, кто задумывался над сущ­ностью пространства, в том числе и у крупнейших уче­ных — физиков, математиков, философов. И в девятна­дцатом веке, и в предшествующих.

И вот этот-то, казалось, незыблемо устойчивый ка­мень в фундаменте не только эвклидовой геометрии, но и общего строения мира, выбивает геометрия Римана.

Попробуем представить себе пространство положи­тельной кривизны. В известном смысле это как будто бы легче, чем представить пространство Лобачевского, об­ладающее отрицательной кривизной. Легче просто по­тому, что с постоянной положительной кривизной мы сталкиваемся всю жизнь — правда, с кривизной поверх­ностей, а не пространства. Любые шары, огромные или маленькие, это есть поверхности постоянной положи­тельной кривизны. А поверхности постоянной отрица­тельной кривизны — псевдосферические поверхности — нам мало знакомы, мало привычны.

Однако если говорить по-честному, близкое знаком­ство с шарами нас мало спасает. Мы рождаемся в трех­мерном пространстве. Этот мир, такой, какой он есть, входит в наше представление, можно сказать, с моло­ком матери, и уж во всяком случае — со школьной скамьи. Вся наша жизнь — сознательная и бессознатель­ная — протекает в этом мире. Хорош он или плох, нам привычно существовать в нем. Другого мы не знаем, и ощутить его нам не дано.

Мы отлично видим, что в нашем пространстве оби­тают различные тела и фигуры, например, плоские пред­меты — доски, стены — и шары. Разницу между ними мы чувствуем и интуитивно, и можем ее вполне убеди­тельно описать и объяснить. Все потому, что эти объек­ты мы наблюдаем, так сказать, со стороны. Со стороны нам видно, что плоскость — плоская, а шар — шарообра­зен, видно различие в их кривизне.

Мы живем на Земле, похожей на шар. Или улетаем ввысь с ее поверхности. Или погружаемся в глубины ее недр и океанов. Такие путешествия нам доступны. Мы трехмерны сами и живем в трехмерном пространстве. Его геометрия, его законы есть наша геометрия и наши законы. И наши представления о нем соответствуют дей­ствительной сути его. Во всяком случае, с той точностью, с какой доступна нам их экспериментальная проверка. А вот пусть кто-нибудь из нас превратится в некое дву­мерное существо. И пусть это существо поселится на поверхности шара. И пусть кривизна его будет такая же, как и у шара. Существо будет ползать по шару, будет его изучать. Оно даже сможет построить его геомет­рию — строгую, логичную, основанную на собственных аксиомах.

Но, ползая вот так по шару, оно не сможет прийти ни к какому заключению ни о его, а следовательно, и ни о своей кривизне. Если только мы, жители трехмерного пространства, не подскажем ему. Нам-то великолепно видно, что обиталище двумерного существа — сфера, по­верхность постоянной положительной кривизны, и ни­какого труда для нас не составит определить радиус ее кривизны.

Но нам самим помощи ждать неоткуда. Не сущест­вует в природе такого четырехмерного пространства, откуда можно так же со стороны взглянуть на наш трех­мерный мир и сказать, какова она на самом деле, его кривизна. А мы сами не можем представить себе изо­гнутое, искривленное пространство, окажись оно даже знакомой нам сферической формы.

Значит, и в этом «более легком» случае нам должна помочь не «обыденная» интуиция, а особая интуиция ученого. Но если первая нам помочь не может, а второй мы просто не обладаем, не пришлось ее приобрести, то ничего не остается, как снова обратиться за помощью к «двумерному случаю», не к сферическому пространст­ву, а к поверхности сферы.

На сфере мы сможем увидеть некоторые из основ­ных особенностей геометрии Римана. А дальше по его схеме, по его методике останется логически перенести эти закономерности на большее число измерений — и в первую очередь на трехмерное пространство.

Тогда обретет доказательность пока что повисшее в воздухе утверждение — что геометрия Римана противоречит не только геометрии Эвклида, но и общеприня­тым представлениям о строении нашего мира.

Возьмем в руки шар, например, глобус. И подумаем о его геометрии. Одно из первых и главных понятий эвклидовой геометрии — понятие прямой линии. Но ес­ли понимать прямую как линию нулевой кривизны, то на сфере прямых линий нет; любая изогнута, любая имеет кривизну. Как тут быть? Чем заменить эвклидову прямую?

Тут нас выручает другое определение прямой: пря­мая есть кратчайшее расстояние между двумя точками. Еще греческим геометрам было известно, что на сфере кратчайшее расстояние между двумя точками есть часть дуги большого круга, то есть той окружности, диаметр которой равен диаметру самой сферы. Значит, все меридианы — «заменители» прямых на сфере. И экватор тоже. А вот параллели определению прямых уже не удовлетворяют: длина их дуг больше кратчайшего расстояния между двумя точками, то есть между концами этих же дуг. Поэтому параллели нас перестали интересовать. Не будем больше ими заниматься и обратим­ся к вновь обретенным «прямым». К дугам больших кругов.

Возьмем палочку и по глобусу «обойдем кругом» земной шар — по экватору или по меридиану. В конце концов мы вернемся в ту же точку, из которой начали путь. Могло ли быть такое в эвклидовом пространстве или на эвклидовой плоскости? Никогда! Пустившись в путь по прямой, мы шли бы и шли — до бесконечности.

Говорят, все постигается в сравнении. В том числе и различия. Мы сейчас почувствовали, чем отличаются прямые на плоскости от прямых на сферической поверхности. Но законы двукратно протяженного многообра­зия, а попросту говоря, поверхности — сферической в нашем случае — должны, по Риману, распространяться на многообразия трех и большего числа измерений. Иными словами, замкнутость «прямых» должна иметь место и в сферическом пространстве.

Остается поставить все точки над «и». Итак, сфери­ческое пространство, или пространство постоянной положительной кривизны, замкнуто и конечно, как замк­нут и конечен шар — сферическая поверхность. Таким свойством обладает, естественно, и другое пространство положительной кривизны — эллиптическое. (Как окружность есть частный и предельный случай эллипса, так и шар есть частный и предельный случай эллипсоида. Поэтому эллиптическая поверхность, а равно и эллиптическое пространство есть обобщение поверхности и пространства сферических). Так замкнутость и конечность пространства Римана нанесли удар по укоренившимся представлениям о бесконечности пространства.

Продолжим знакомство с геометрией Римана. Мы теперь знаем, что есть «прямые» в этой геометрии. И естественно сразу же заинтересоваться их параллельностью. Ведь, не говоря о прочем, именно казус с параллельными оказался чем-то вроде троянского коня в царстве Эвклида. Именно благодаря туманному поведению параллельных было разрушено представление о незыблемости эвклидова мира. И рядом с ним возник тогда новый, более широкий мир геометрии Лобачевского. Одним из краеугольных камней этой геометрии стал свой, отличный от эвклидова, постулат о параллельных: через каждую точку можно провести две прямые, параллельные данной прямой.

А сколько параллельных разрешается иметь прямой в геометрии Римана? Опять смотрим на глобус и выбираем на нем любой  из  больших кругов — римановых "прямых" — экватор, меридиан. Или такую же окружность но без географического названия. А теперь поищем другую прямую, ей параллельную.

Искать можно бесконечно долго, с одним и тем же успехом. Параллельных в геометрии Римана нет. Нет вовсе. Любые две её «прямые», любые два больших круга обязательно пересекутся, да еще и дважды, в двух точках. (И пусть нас тут не путает географический термин "параллель". Географические  параллели действительно нигде не пересекаются друг с другом. Но дело в том, что они не есть прямые геометрии Римана. Просто не могут быть ими — потому что дуги их не есть крат­чайшее расстояние между двумя точками. Один и тот термин в разных науках может обозначать различные, имеющие лишь чисто внешнее сходство, понятия. И не надо терминологии давать вводить себя в заблуждение).

Итак, если будет всего одна прямая, параллельная данной прямой, значит, дело происходит в плоскости Эвклида. Две прямые, параллельные данной, живут в плоскости Лобачевского. А в плоскости Римана нет ни одной прямой, параллельной данной.

Напомним, что если в геометрии Эвклида понятия «параллельные прямые» и «непересекающиеся прямые» тождественны, то в геометрии Лобачевского они имеют разный смысл. Прямых, проходящих через данную точ­ку и не пересекающихся с данной прямой, у Лобачев­ского бесконечное множество. Из них две предельные прямые, лежащие на границе между пересекающимися и непересекающимися, первые из не пересекающих исходную прямую, он называет параллельными.

Учитывая это замечание, может быть, лучше сказать, что в эвклидовой геометрии через каждую точку прохо­дит лишь одна прямая, не пересекающаяся с данной, в геометрии Лобачевского их бесконечное множество, а в геометрии Римана нет ни одной.

Тогда сразу становится понятным промежуточное положение геометрии Эвклида между двумя новыми геометриями. Старый, привычный, тысячелетиями знакомый человечеству мир Эвклида оказался посередке между открытыми лишь в девятнадцатом веке новыми, весьма экстравагантными по своей структуре и законам мирами. Лишь очень немногие, те, кто обладал достаточной смелостью мышления, нашли в себе силы уже в том, в девятнадцатом веке, понять и принять эти миры.

Сейчас это гораздо легче сделать. Во-первых, стало шире и смелее коллективное мышление человечества, во, всяком случае, в науке. А во-вторых, самые, каза­лось бы, невероятные вещи, когда они научно доказаны и освящены авторитетами, воспринимаются все-таки спокойнее, без активного внутреннего сопротивления. И даже ум, очень далекий от этих конфликтующих с при­вычным миром абстракций, не тренированный в этом смысле, пытается в них разобраться; не оттолкнуть их, а принять, включить в круг своих интересов.

В эвклидовой геометрии, как мы знаем, с постула­том о параллельных теснейшим образом связана теоре­ма о сумме углов треугольника. Или, точнее, эта тео­рема может послужить эквивалентом пятому постулату, занять его место; и тогда сам пятый постулат, уступив своё место, становится обыкновенной, легко доказываемой теоремой. У Лобачевского эквивалентом его посту­лата о параллельных служит утверждение о том, что сумма углов треугольника меньше, чем в эвклидовой геометрии, то есть меньше двух прямых углов.

У Римана, естественно, величина этой суммы должна отличаться и от одного и от другого значения. Нетрудно догадаться, что сумма углов треугольника в геометрии Римана должна быть больше двух прямых.

Последний случай и есть та самая «гипотеза тупого угла», с которой легко расправился Саккери. Почему так получилось, мы теперь знаем. «Гипотеза тупого угла противоречила не только «сомнительному» пятому постулату, но и другим основам геометрии Эвклида, и прежде всего «совершенно надежному» второму по­стулату, утверждавшему бесконечность прямой линии.

Не будем больше вникать в законы геометрии Римана. В ней, как и в геометрии Лобачевского, масса стран­ного и непривычного для нашего эвклидова мышления, масса «курьезов». Вот, к примеру, один: среди всех треугольников, сумма углов которых всегда больше двух прямых, возможен и такой, у которого все три угла прямые — случай нам прежде неизвестный. В этой геометрии, так же как в геометрии Лобачевского, не может быть подобия; фигуры подобны, только если они равны.

Геометрию Римана называют еще — «эллиптиче­ская». Напомним, что геометрия Лобачевского называется «гиперболическая». Поэтому логично было бы гео­метрию Эвклида назвать «параболической». Но такое название в науке не привилось; за эвклидовой геомет­рией осталось ее узаконенное историей имя.

Заключительную часть своей лекции Риман посвящает размышлениям об истинной структуре, а значит, и истинной геометрии реального физического простран­ства. Разве можно было не задуматься над этим вопро­сом тому, кто открыл новые пространства, хотя бы и на  «кончике пера»?

Мы помним, вопрос этот тревожил Гаусса. Он, забыв на время о порученной ему королем Ганновера топографической съемке, направил угломерные приборы вершины трех гор и измерил сумму углов этого, как ему казалось, достаточно большого треугольника. Ни­какого отклонения суммы углов от 180° Гаусс не обна­ружил, и обнаружить не мог. Даже если оставить в сто­роне несовершенство приборов, измеряемые им расстоя­ния были чрезмерно малы для такой задачи.

Лобачевский, который, естественно, тоже не едино­жды задумывался о геометрии реального мира, выбрал для своих измерений другой треугольник — «чуть по­больше». Одна вершина его находилась на Земле, дру­гая — на Солнце, а третья — на «неподвижной» звезде Сириусе. Солнце отстоит от Земли на 150 миллионов километров, а Сириус еще в миллион раз дальше.

Расчеты Лобачевский проводил, пользуясь так называемыми параллаксами звезд, по которым определя­ется расстояние до звезды.

Но точность угломерных приборов была по-прежне­му мала; значения параллаксов — тоже не очень точны и, кроме того, найдены на основе эвклидовой геометрии. Правда, последнее обстоятельство Лобачевский поста­рался учесть. Не приходится удивляться, что отклоне­ние суммы углов такого треугольника от двух прямых лежало в пределах ошибки измерений. Поэтому опыт Лобачевского не мог решить в пользу какой-либо из геометрий. Обескуражил ли такой результат Лобачев­ского, поколебал ли его убеждения? Нет, тем более, что он понимал — не только несовершенство приборов и из­мерений было причиной отрицательного результата. Главное — еще недостаточно велик был и сам его «астрономический треугольник».

Лобачевский еще в первой работе писал: «Нельзя не увлекаться мнением Лапласа, что видимые нами звез­ды принадлежат к одному только собранию небесных светил, подобно тем, которые усматриваем как слабо мерцающие пятна в созвездиях Ориона, Андромеды, Козерога и др. Итак, не говоря о том, что в воображе­нии пространство может быть продолжено неограничен­но, сама природа указывает нам такие расстояния, в сравнении с которыми исчезают за малостью даже и расстояния нашей Земли до неподвижных звезд. После этого нельзя утверждать более, что предположение, будто мера линий не зависит от углов, — предположение, которое многие геометры хотели принимать за строгую истину,  не требующую доказательств, — может быть, оказалось бы приметно ложным еще прежде, нежели перейдём за пределы видимого нами мира».

Лишь теперь пришло понимание и всей сложности вопроса о  геометрии нашего пространства, и пути к решению проблемы.

Риман никаких измерений для «выбора» истинной геометрии пространства не делал. Он ограничился некоторыми общими рассуждениями. Одно он понимал совершенно: окончательное решение вынесет не математика, а физика с астрономией, и лишь тогда, когда будет накоплен достаточный опытный материал и гораздо выше поднимется уровень знаний.

— Здесь мы стоим на пороге области, принадлежащей другой науке — физике, — сказал Риман, — и перешагнуть его не дает нам повода сегодняшний день.

Что же положительного о геометрии пространства мог сказать Риман, находясь в  своем  «сегодняшнем дне»? Хотя, по существу, его собственное «сегодня» для науки было уже «завтра». Прежде всего Риман, вероятно раньше других ученых понял — во всяком случае, сказал вслух, — что понятия «безграничность» и «бесконечность», если речь идет о пространстве, не только не одно и то же — в них нет ничего общего.

«Неограниченный»  по смыслу слова означает:  не имеющий границ. Вдумаемся в содержание этих слов.

Мы сидим на трибуне катка и смотрим.  Конькобежец делает один круг за другим. Никуда в бесконечность он не убегает — он все время перед нашими глазами. Но в то же время путь его безграничен, пока он не вышел из круга, не пересек границы.

А бесконечность?

Улетает с Земли космический снаряд. В вычислительном центре подсчитывают, что он пролетел уже столько-то тысяч километров, потом столько-то миллионов... А снаряд, устояв против притяжения Солнца, а затем звезд, летит все дальше и дальше. Сменяются световые года, а снаряд летит, летит, и нет конца его полёту. И кажется, что нет уже меры длине его пути, летит, летит... Вот что такое бесконечность, если мысленно, образно представить себе. Это расстояние, которое хотя и измеряемо, но — даже в принципе — не может быть измерено до конца, потому что конца просто нет.

Теперь нам станут понятны слова Римана:

— При рассмотрении пространственных построений в направлении неизмеримо большого, — сказал он, имея, по-видимому, в виду расстояния, гигантски большие по сравнению с земными, — следует различать свойства неограниченности и бесконечности...

В этом открытии Римана самое важное не матема­тические различия, важен физический и, может, еще больше философский смысл открытия. Тем более, что сами философы, по крайней мере, некоторые из них, долго не могли это различие постичь и смириться с ним. Философы эти были убеждены, что бесконечность и безграничность — синонимы. Что их наполняет одно и то же содержание, как физическое, так и философское. И, значит, они взаимозаменяемы. Путаницу в умах та­кое представление вызвало необычайную.

Так, общая теория относительности особенно ярост­ным нападкам подвергалась как раз за то, что из ее уравнений делали вывод об ограниченном объеме про­странства Вселенной: «Разве может Вселенная иметь границу! А что же находится по ту сторону границы?»

Но Эйнштейн никогда и не думал говорить, будто наше пространство ограничено, заключено в какие-то пределы; он всегда полагал его безграничным. Он знал, что из него нельзя «выйти», подобно тому, как конько­бежец может выйти из круга, направляясь в разде­валку.

Однако безграничное не значит — бесконечное. Эйн­штейн считал, что Вселенная имеет конечный объем потому, что пространство Вселенной искривлено и кри­визна его положительна. Оно есть некая замкнутая, как бы завернутая на себя структура. Подобно тому, как окружность есть «завернутая на себя» линия. А шар — «завернутая на себя» поверхность.

Скоро придет время поговорить нам подробнее о структуре нашего пространства, узнать, как ставит эту проблему наука семидесятых годов нынешнего века. Но уже и Риман предсказывал такую возможность из своего столетнего далека.

— То, что пространство есть неограниченное, трижды протяженное многообразие, является допущением, при­нимаемым в любой концепции внешнего мира, — гово­рил он. — Но отсюда никоим образом не следует бесконечность пространства: напротив, если припишем пространству постоянную меру кривизны, то придется допустить конечность пространства, как бы мала ни была мера кривизны, лишь бы она была положительной.

Риман тоже поясняет свою мысль двумерной ана­логией. Он показывает, как несложно нам, людям, представить себе «неограниченную поверхность с по­стоянной положительной кривизной, то есть такую поверхность, которая в плоском трижды протяженном многообразии приняла бы вид сферы и, следовательно, являлась бы конечной».

Ну, ясно, такая поверхность есть не что иное, как шар.  Конечна или бесконечна эта поверхность?

Безусловно, конечна — вот она вся перед нами.

Гранична или безгранична она? Безгранична. Сколько бы ни перемещаться по поверхности сферы, границы ней нет.

Так, совершая кругосветное плавание, мы не обнаружим границы земного шара. И только оторвавшись от его поверхности, покинув палубу, на самолете мы пересечем границу между поверхностью земли и атмосферой. Но это уже будет выход в третье измерение. Значит, не нарушая правил игры, оставаясь в пределах поверхности шара, то есть двух измерений, мы никакой границы не пересечем; мы ее попросту не обнаружим.

Разрешив коллизию «бесконечность — безграничность», Риман пытается найти глубокие подходы к сек­ретам мироздания. Он говорит:

— Для объяснения природы вопросы о неизмеримо большом — вопросы праздные. Иначе дело обстоит с вопросом о неизмеримо малом. От той точности, с ко­торой нам удается проследить явления в бесконечно ма­лом, существенно зависит наше знание причинных связей. Поэтому вопросы о метрических отношениях про­странства в бесконечно малом не принадлежат к числу праздных.

Неизмеримо большое и неизмеримо малое... Два по­люса, к которым всегда стремилось и стремится челове­ческое познание.

Пристрастие Римана к бесконечно малому, к иссле­дованию микропроцессов, причем не только в матема­тике, но и в физике, нам известно. Что же касается отношения к «неизмеримо большому», то оно несколько загадочно. Почему Риман считает праздными вопросы о неизмеримо большом? Почему он думает, что они не могут послужить «для объяснения природы»? Науку ведь интересует и микроструктура пространства и строение пространства всей Вселенной. Этот вопрос ни­как не может посчитаться «праздным». И Лобачевский говорил, что «сама природа указывает нам такие рас­стояния, по сравнению с которыми исчезают за малостью даже и расстояния нашей Земли до неподвижных звезд», и задумывался над геометрией пространства та­ких масштабов. Поэтому слова Римана о праздности вопроса о «неизмеримо большом» хотелось бы объяснить только одной причиной, тем, что в это время для на­уки — физики, астрономии — был еще «зелен виноград».

Размышляя о геометрии, о структуре пространства в бесконечно малом, Риман высказывает чрезвычайно глубокие мысли, которые, скорее всего, ускользнули даже от Гаусса. Сейчас они настолько современны, что их воспринимаешь как предвидение Римана, как проро­чество.

Прежде всего Риман подчеркивает, что фундамент, на котором построена обычная наша геометрия и кото­рый сам возник в процессе человеческой практики, что этот фундамент не применим, «теряет всякую определен­ность в бесконечно малом». А раз так, то вполне воз­можно, и даже вероятно, что и геометрические отноше­ния в бесконечно малом также совершенно не похожи на известные нам, людям, законы геометрии. Здесь, чтобы не было путаницы, необходимо маленькое приме­чание. Риман размышляет о геометрии реального про­странства. Поэтому слова «неизмеримо большое» и «не­измеримо (или бесконечно) малое» имеют не математи­ческое, а физическое содержание. Неизмеримо большое, мы уже знаем, это — Вселенная или, по крайней мере, доступная нам область её. А бесконечно малое, если пе­ревести на современный язык, — микромир, мир элемен­тарных частиц. А вовсе не бесконечно малое в матема­тическом смысле (переменное, стремящееся к своему пределу — нулю), не тот способ «расщепления про­странства», с помощью которого Риман построил свою геометрию.

О каком же опытном фундаменте геометрии говорит Риман? Фундамент этот — два чисто физических объекта — твердое тело и световой луч. Недаром Эйнштейн писал, что «в той мере, в которой можно говорить о существовании в природе твердых тел, эвклидова геометрия должна считаться физической наукой».

Но едва мы вспомним, что в твердом теле происхо­дят непрерывные колебания кристаллической решетки и движение свободных электронов, то станет очевидно, что для измерений на расстояниях, соизмеримых с расстояниям и между атомами решетки, «твердое тело» уж никак не применимо, и надо искать другие эталоны.

Таким образом, даже не вникая в суть, в физику явлений, можно понять глубину интуиции Римана, ког­да он говорит: «Мыслимо, что метрические отношения пространства в бесконечно малом не отвечают геомет­рическим допущениям». Особенно поражает, что такое могло быть сказано сто лет назад, когда физика не имела ни малейшего представления о микромире — в том его содержании, которое мы вкладываем в это слово сейчас.

Наука должна искать ответы не только на вопрос «как?», но и на вопрос «почему?». Эйнштейн говорил: «Мы хотим не только знать, как устроена природа (и как происходят природные явления), но и по возмож­ности достичь цели, может быть, утопической и дерз­кой на вид, — узнать, почему природа является именно такой, а не другой. В этом ученые находят наивысшее удовлетворение».

Наука о пространстве должна будет не только рас­крыть строение, структуру пространства и в «бесконеч­но малом», в микромире, и в «неизмеримо большом» — на гигантских космических расстояниях. Она должна будет еще и объяснить, почему, в силу каких причин, каких физических процессов пространство в каждом случае, или в каждом данном месте, или в данный мо­мент времени имеет именно такую структуру.

По-видимому, Риман осознавал, что должна быть какая-то связь между строением пространства и физи­ческими процессами, в нем происходящими. Во всяком случае, в некоторых его мыслях ясно чувствуется стрем­ление найти подходы как раз ко второй задаче науки — ответить на вопрос «почему?».

— Вопрос о том, справедливы ли допущения геомет­рии в бесконечно малом, тесно связан с вопросом о внутренней причине возникновения метрических отноше­ний в пространстве. Этот вопрос, конечно, также отно­сится к области учения о пространстве, — говорит Ри­ман. И дальше, пытаясь проникнуть в самую суть при­роды вещей, он ищет причину в том, в чем искали и ищут ее ученые нынешних поколений.

— Или то реальное, что создает идею пространства, образует дискретное многообразие... — каким-то чутьем, интуицией, шестым чувством предугадывает Риман возможную структуру пространства микромира.

Считалось бесспорным, а во времена Римана и по­давно, что пространство не только однородно во всех своих частях, но и непрерывно. Риман высказал чрезвы­чайно смелую, даже еретическую мысль: может быть, в бесконечно малом пространство имеет прерывистую структуру.

Что это значит? Возьмем твердое тело. Мы-то зна­ем — а в девятнадцатом веке этого еще не знали, — что на самом деле оно не «сплошное», а представляет собой дискретную структуру — кристаллическую решетку, в узлах которой, на определенных расстояниях друг от друга, находятся атомы.

По такому же принципу — хотя эта аналогия и очень груба, — возможно, построено и пространство ми­кромира. Мы говорим — возможно, потому что решения сложнейшего этого вопроса нет до сих пор. Но многие физики склоняются к мысли, что в мире элементарных частиц и взаимодействий пространство действительно имеет дискретную, прерывистую структуру. И что ха­рактер этой структуры самым тесным, интимным обра­зом связан с природой самих элементарных частиц. О геометрии микромира мы поговорим на последних страницах книги, а пока вернемся к Риману. Мы обо­рвали его фразу на середине. Вот ее конец:

— ...или же нужно пытаться объяснить возникнове­ние метрических отношений чем-то внешним — силами связи, действующими на это реальное.

Итак, не само пространство «по собственной воле» устанавливает свою геометрию, а «что-то внешнее», внесенное в пространство, формирует его структуру — то есть его метрику, его геометрию. Риман называет это внешнее силами связи, действующими на пространство, не расшифровывая физического  характера   этих  сил.

Эйнштейн в общей теории относительности покажет, что геометрия пространства действительно зависит от «внешнего», ее определяют массы. Массы создают поля тяготения, физическая суть которых и проявляется в искривлении пространства. Силы тяготения и есть по­этому «силы связи» в римановском смысле, хотя сам Риман, вероятно, лишь нащупывал общий подход, а не имел в виду, да и не мог иметь, какое-то конкретное физическое решение. Вспомним его слова:

— Здесь мы стоим на пороге области, принадлежа­щей другой науке — физике, и перешагнуть его не дает нам повода сегодняшний день.

Герман Вейль, один из крупнейших математиков на­шего века, комментируя Римана, писал: «Полное пони­мание заключительных замечаний Римана о внутреннем существе метрики пространства стало возможным лишь после создания Эйнштейном общей теории относитель­ности... Риман отказывается принять концепцию, до не­го разделявшуюся всеми математиками и физиками — будто бы метрика пространства независима от протека­ющих в нем физических процессов и будто реальное вступает в это метрическое пространство как нанима­тель в готовую квартиру».

Концепция эта, однако, разделялась не всеми. Лобачевский тоже связывал геометрию пространства с силами. Но и у него это не имело конкретного содержания, а было лишь общим, философским взглядом на приро­ду вещей. «Сегодняшний день» девятнадцатого века да­же самым сильным умам не мог дать повода перешаг­нуть тот порог, который отделял гениальные догадки от точных физических решений.

«Больше того, — говорит Вейль о Римане, — он утверждает, что пространство само по себе есть аморф­ное трехмерное множество и только наполняющее его материальное содержание организует его путем установления метрики».

Риман не заблуждается — пройдет еще много време­ни, пока наука найдет правильный ответ: покажет связь геометрии пространства с населяющей его материей.

— Решение этих вопросов можно надеяться найти лишь в том случае, — сказал Риман, — если, исходя из ныне существующей и проверенной концепции, основа которой положена Ньютоном, станем постепенно ее совершенствовать, руководствуясь фактами, которые ею объяснены быть не могут; такие же исследования, как произведенное в настоящей работе, именно, имеющие исходным пунктом общие понятия, служат лишь для того, чтобы движению вперед и успехам в познании связи вещей не препятствовала ограниченность понятий и укоренившиеся предрассудки.

В последних словах, хотя они не были обращены ни к кому персонально, Гаусс, быть может, почувство­вал укор.

Вот какое богатство идей заключалось в этой лек­ции, которой Риман должен был доказать свое право на скромный пост преподавателя университета.

Имеющие уши да слышат. А уж Гаусс имел и уши, и знания, и гениальную голову. Можно ли удивляться, что Гаусс ушел с заседания коллегии потрясенный...

А сам Риман, осознавал он всю огромность перево­рота, совершенного им в геометрии? Хочется думать, что осознавал. Хотя у нас нет никаких свидетельств этому.

На коллегии Гаусс промолчал. Остальные и не мог­ли откликнуться.

Передал ли Вебер, тогда или позже, слова Гаусса, те, что произнес он, возвращаясь после коллегии домой? Сомнительно. При жизни Гаусса все приближенные обязаны были строго блюсти его секреты. И после кон­чины далеко не сразу стали предаваться гласности «крамольные» мысли короля математики. Узнай Риман каким-нибудь образом о столь высокой оценке, он, ко­нечно, написал бы об этом родным. Такое письмо не­известно.

 

• 1. Это Николай Иванович Лобачевский, Янош Бойяи и Карл Фридрих Гаусс. — Прим. админа.
• 2. Я тоже попыталась популярно рассказать про эти идеи и по­казать ход их развития в своей научно-художественной повести «Постижение мира», которая примыкает к повести «Три судьбы» и есть продолжение рассказа об открытии неэвклидовости нашего мира. Вероятно, чтобы проникнуть в идеи Римана, надо говорить о них достаточно пространно, следя за ходом его мысли. Или же следует ограничиться совсем кратким изложением. Срединного пути здесь нет. Поскольку книга посвящена не Риману, приходится избрать второй путь. Однако многое из «Постижения мира» вошло в последние части этого расширенного варианта повести «Три судьбы». — Прим. А. М. Ливановой.