Вы здесь

Просто и доступно о матрицах. IV

 

Приведённые ниже текст является частью книги «Первый шаг в квантовую реальность».

Чтобы скачать полный текст, пройдите по ссылке.

 

Назад    Вперёд

6. Произведение матриц.

Пусть даны последовательно выполняемые однородные линейные преобразования

Т.е. в конечном итоге пара    переходит в пару .

Такая операция называется произведением линейных преобразований, а соответствующее преобразование матриц называется произведением матриц.

Непосредственно убеждаемся, что

Соответствующая матрица такова:

И, окончательно:

Возникает вопрос, как сконструировать произведение матриц из исходных? Неужели  всегда нужно будет переходить к линейным преобразованиям, выполнять необходимые алгебраические вычисления, и только потом получать искомое произведение?

— Нет, конечно. Вот самый простой приём умножения матриц:

1. Левую матрицу транспонируем.

2. Тогда искомые матричные элементы получаются как всевозможные взаимные произведения столбцов левой матрицы на столбцы правой матрицы.

3. Место каждого полученного матричного элемента в искомой матрице определяется согласно правилу:

— номер столбца левой матрицы приписывается матричному элементу в качестве номера строки,

— номер столбца правой матрицы приписывается матричному элементу в качестве номера столбца.

Рассмотрим один пример очень подробно.

Ищем произведение:

Сначала транспонируем левую матрицу:

Все необходимые вычисления приведены в  таблице:

№ столбца левой матрицы =

№ строки результата

№ столбца правой матрицы =

№ столбца результата

Вычисление матричных элементов

1

1

1∙2+(-2)∙(-2)+3∙0+(-4)∙(-1)=10

1

2

1∙(-1)+(-2)∙3+3∙4+(-4)∙3= –7

2

1

4∙2+(-3)∙(-2)+2∙0+(-1)∙(-1)=15

2

2

4∙(-1)+(-3)∙3+2∙4+(-1)∙3= –8

В итоге получаем:

В дальнейшем произведение матриц будет приводиться без каких-либо подробностей. Потому что это очень просто! Если убрать всё лишнее, то умножение матрицы сводится к применению простенькой схемы:

Ещё примеры умножения матриц-строк и матриц-столбцов:

7. Общее правило умножения матриц.

Пусть даны две матрицы А и В с матричными элементами аik и bkj , здесь i, k, j — некоторые натуральные числа, тогда матричные элементы матрицы С =  АВ, вычисляются по формуле:

 

сij = аi1 · b1 j  + аi2  · b 2j  + …=

.

 

Здесь знак Σ означает, что выполняется суммирование по всем слагаемым, где индекс k пробегает значения от 1 до n. Но если n =1, то суммирование пропадает, и остаётся только произведение.

Это правило согласуется с вышеприведённым правилом.  

В самом деле,  означает, что строка левой матрицы умножается на столбец правой матрицы. После транспонирования левой матрицы точно такие же результаты будут получаться после умножения столбца одной матрицы на столбец другой. Наконец, от левой матрицы получаем номер строки результата, а от правой — номер столбца. 

8. Возникает вопрос, всегда ли возможно произведение матриц?

Обратимся к линейным преобразованиям.

Произведение линейных преобразований, т.е. подстановка одного преобразования в другое, возможно, если число функций в первом преобразовании в точности равно числу аргументов во втором преобразовании.

На языке матриц это означает следующее:

Произведение матриц возможно, если число строк в правой матрице равно числу столбцов в левой матрице.

Теперь обратимся к приведённому выше правилу умножения матриц. Понятно, что матрицы можно умножать, если окажется, что у левой (транспонированной) и правой матрицы число строк одинаково.

9. Произведение матриц неперестановочно.

Результат произведения матриц зависит от их порядка, иначе говоря, произведение матриц в общем случае некоммутативно, т. е. неперестановочно.

Более того, может оказаться так, что до перестановки произведение матриц было возможным, а после перестановки произведение этих же матриц не существует.

Две матрицы можно перемножать в любом порядке лишь тогда, когда их размерности равны mxn и nxm. — Именно при выполнении этого условия число столбцов в левой матрице всегда будет равно числу строк в правой матрице независимо от порядка их умножения. Результатом умножения будут квадратные матрицы размерностью mxm  или nxn. Очевидно, что если m≠n, результатом будут совершенно разные матрицы, которые не могут быть равными.

Если же m=n, т.е. если перемножаются две квадратные матрицы с одинаковым числом строк и столбцов, то произведение таких матриц возможно в любом порядке, тем не менее, чаще всего, результат тоже зависит от порядка сомножителей.

Например:

И лишь в исключительных случаях произведение матриц коммутирует, например: 

Пусть вас не удивляет то обстоятельство, что произведение двух матриц после перестановки может не существовать, а если и существует, то результат чаще всего зависит от порядка сомножителей.

В самом деле, матрицы определяют то или иное линейное преобразование, а линейное преобразование, в свою очередь, есть не что иное, как действие, состоящее в том, что одной группе чисел по определённым  правилам ставится в соответствие другая группа чисел.

Так вот, устройство нашего мира таково, что результат зависит от порядка действий.

Например, можно сначала поймать рыбу, а потом сварить уху, а наоборот не получится.

И ещё пример. Можно сначала что-то выпить из стакана, а затем его помыть, или, наоборот, можно сначала его помыть, и только потом что-то выпить из него. — Результат очень разный!

10. Деление матрицы на матрицу не имеет смысла, поэтому не определено.

Возможно лишь деление матрицы на число, что эквивалентно умножению матрицы на число, обратное данному.

М : α = α–1 М.

11. Особые матрицы.

Нулевая матрица. Это матрица, у которой все матричные элементы являются нулями.

Единичная матрица. Это квадратная матрица, у которой диагональные элементы, т.е. те у которых номер строки равен номеру столбца, равны единице, а остальные, недиагональные равны нулю.

Например:

Назад      Вперёд

 

©   А.А.Дмитриевский.