Приведённые ниже текст является частью книги «Первый шаг в квантовую реальность».
Чтобы скачать полный текст, пройдите по ссылке.
Трудных наук нет,
есть только трудные изложения.
Александр Иванович Герцен
Это сообщение — начало проекта, цель которого постепенно ввести читателя в квантовую механику, начиная с самых простых и элементарных соображений. При этом основное внимание будет уделяться идеям, а некоторые пусть и важные, но частные вопросы останутся за кадром, поскольку с ними можно будет ознакомиться при повторном, углублённом изучении предмета.
Поставлена сверхзадача — показать, что квантовая механика возникает очень естественно.
При традиционном изложении квантовой механики учащегося не оставляет острое ощущение, что она является искусственным построением, поскольку к математическому аппарату трудно привыкнуть. Внутреннее предубеждение, протест против математического аппарата квантовой механики исчезает лишь по мере выработки навыков его применения, и, в конечном итоге, учащийся вынужден смириться.
Но оказывается, квантовую механику можно излагать так, что никакого протеста не будет, потому что квантовая механика естественно возникает из привычной для нас реальности.
Одна из формулировок квантовой механики — матричная квантовая механика В. Гейзенберга, и поэтому первая серия сообщений будет о матрицах.
* * *
Матрицы при традиционном знакомстве с ними вводятся как таблицы чисел.
При этом особых психологических затруднений не возникает:
— Ну, таблицы, так таблицы. Ладно!
Непонятно откуда взялись правила работы с матрицами?
— Пусть правила будут какие есть, посмотрим, что получится…
Но оказывается, изучая алгебру матриц, полезно усмотреть, что алгебра матриц естественным образом следует из связи матриц с линейными преобразованиями. Потому что, если вдруг возникнут какие-либо затруднения или неуверенность при работе с матрицами, то от матриц всегда можно перейти к линейным преобразованиям, после чего все сомнения легко разрешаются с помощью элементарной алгебры.
А теперь обо всём по порядку.
1. Линейная функция.
Вот линейная функция: , вот её график при некоторых значениях параметров:
Линейная функция названа так потому, что её график представляет собой прямую линию.
Линейная функция — самая простая. Чтобы вычислить её значения достаточно только складывать и умножать. Даже делить и возводить в квадрат не надо! А уж о тангенсах или логарифмах и речи нет.
Линейная функция играет важную роль в точных науках, потому что сложное нередко возникает в процессе естественного усложнения очень простого.
А раз так, то будем усложнять!
2. Линейные преобразования.
Линейная функция является простейшим линейным преобразованием; здесь только один аргумент , только один свободный член
и только одна функция
.
В линейном преобразовании может быть один, два, три, … и, вообще, сколько угодно аргументов и одна, две, три, …, сколько угодно функций. А свободных членов должно быть столько же, сколько функций, но они все, или некоторые из них, могут быть нулями.
Вот пример линейного преобразования с двумя аргументами и
, двумя функциями
и
и двумя свободными членами
и
:
,
.
Как понимать это выражение? — Точно также, как выражение , где для каждого
можно вычислить по формуле некоторое, вполне определённое значение
.
— А именно: каждой паре чисел и
соответствует некоторая другая пара чисел
и
, которая вычисляется в соответствии с формулами линейного преобразования.
Линейное преобразование называется однородным, если все свободные члены равны нулю:
Последние комментарии