§59

1.

В §41 было установлено, что если в некоторой плоскости даны прямая CD и точка A, не принадлежащая ей, то через эту точку можно провести бесконечное множество прямых, не пересекающих заданную прямую (см. рис. 35). При этом прямые RS и PQ  называются граничными. Это означает, что любая прямая, образующая с отрезком AB угол, меньший чем угол α, пересекает прямую CD (на рисунке 35 это прямая b). Именно эти граничные прямые и считаются параллельными прямой CD. Что касается других прямых, не пересекающих прямую CD, то они не являются граничными и называются расходящимися по отношению к прямой CD.

Граничные прямые называются параллельными прямой CD в точке А. При этом прямая RS считается параллельной прямой CD в направлении CD, а прямая QP называется параллельной прямой CD в направлении DC (в первом случае говорят, что прямая RS параллельна прямой CD вправо, а во втором, что прямая QP параллельна прямой CD влево).

Можно доказать следующую теорему:

Если прямая RS параллельна прямой CD вправо, то расстояние d точки, лежащей на прямой RS до другой параллельной CD, неограниченно убывает при перемещении этой точки вправо, т. е. в сторону параллельности.

В связи с этим рисунок 35 естественно представить несколько иначе (см. рис. 36).

2.

Докажем теорему:

Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, являются расходящимися.

Итак, построим две прямые, перпендикулярные к третьей прямой (рис. 37).

Вопрос 1. Могут ли прямые a и b  пересекаться?

Подумайте, а затем см. указание 107.

Вопрос 2. Попробуйте самостоятельно завершить доказательство теоремы. Почему в геометрии Евклида прямые a и b  (рис. 37) являются параллельными, а в геометрии Лобачевского эти прямые не могут быть параллельными? См. указание 108.