1.

Геометрия Лобачевского обладает еще более удивительными особенностями. Пусть, например, дан острый угол ВАС (рис. 32). Для каждого человека, изучавшего геометрию в школе, совершенно ясно, что перпендикуляр А1В1, восставленный из произвольной точки луча АС, обязательно пересечет луч АВ.

В геометрии же Лобачевского справедлива следующая теорема:

Для каждого острого угла существует единственная прямая, перпендикулярная к одной его стороне и не пересекающая другую его сторону (рис. 33).

2.

Докажем теперь такую теорему:

Если дан острый угол, то не всякая прямая, перпендикулярная к одной его стороне, пересечет другую сторону.

Доказательство теоремы проведем методом от противного. Пусть дан острый угол KON.

Допустим, что всякий перпендикуляр, восставленный в любой точке луча OK, пересекает сторону ON. Отложим на луче KO произвольный отрезок OA. Затем отложим отрезки АА1 = OА, А1А2 = OА1, А2А3 = OА2 и т. д. (см. рис. 34). В соответствии с принятым допущением перпендикуляры к прямой OK, восставленные в точках A, A1, A2, A3 и т. д., пересекают луч ON в точках B, B1, B2 ,..., Bn. (Выполните чертеж в тетради.) Тогда ∆OAB = ∆AA1B, ∆OA1B1 = ∆A1B1A2, ∆OA2B2 = ∆A2B2A3, ..., ∆OAn–1Bn–1 = ∆An–1Bn–1An. Почему? Подумайте, а затем см. указание 103.

3.

В силу свойства аддитивности дефекта треугольника имеем:

D(OBA1) = D(OBA) + D(ABA1) = 2 D(OBA).

Далее можно записать:

D(OB1A1) = D(OBA1) + D(BB1A1) = 2 D(OBA) + D(BB1A1) > 2D(OBA).

(неравенство имеет место в связи с тем, что значение дефекта треугольника положительно).

Запишите теперь два последующих неравенства, затем см. указание 104.

4.

Теперь можно сделать вывод, что D(ОВnАn) >.... Что нужно записать в правой части неравенства? Подумайте, а затем см. указание 105.

5.

Попробуйте теперь самостоятельно сделать окончательный вывод и обнаружить противоречие, а затем см. указание 106.

6.

Итак, обнаруженное противоречие показывает, что не всякий перпендикуляр, восставленный из точки, лежащей на одной стороне угла, пересекает другую сторону. В принципе можно строго доказать, что существует единственный перпендикуляр, пересекающий другую сторону угла. Доказательство этого факта опускаем.

 

Table of Contents 

Добавить комментарий

Plain text

  • HTML-теги не обрабатываются и показываются как обычный текст
  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.
CAPTCHA
Этот вопрос задается для того, чтобы выяснить, являетесь ли Вы человеком или представляете из себя автоматическую спам-рассылку.