Итак, непротиворечивость геометрии Евклида нами доказана. Однако это доказательство в свою очередь носит относительный характер, так как геометрия Евклида непротиворечива постольку, поскольку непротиворечива арифметика. Казалось бы, все обстоит очень просто. Надо доказать непротиворечивость арифметики, и тогда непротиворечивость евклидовой геометрии будет полностью установлена. Однако проблема доказательства непротиворечивости арифметики оказалась под стать проблеме пятого постулата. Правда, решалась эта проблема не 2000 лет, а всего лишь 30. Это вполне естественно, так как математическая наука к XX в. достигла очень высокого уровня развития. В 1904 г. Давид Гильберт предложил формализовать (т. е. построить на аксиоматической основе и доказать непротиворечивость) всю существующую математику. Следовательно, речь шла также о доказательстве непротиворечивости фундамента современной математики — арифметики. Однако в 1931 г. австрийский логик и математик К. Гёдель доказал, что никакая конечная система аксиом для арифметики не является полной. Иными словами, какое бы мы ни выписали конечное число аксиом арифметики, всегда найдется арифметическое утверждение, которое не может быть доказано или опровергнуто при помощи заданной системы аксиом.
Рассмотренный нами отрицательный результат не означает, что здание математики строится на песке. В конечном счете критерием истины в математике, как и в любой другой науке, является практика. Непротиворечивость арифметики подтверждается всей многовековой практикой человеческого общества.
Добавить комментарий