Мы уже говорили о том, что область научного творчества была избрана Остроградским еще в Харькове под влиянием профессора Осиповского. Кратко ее можно охарактеризовать так: прикладная математика. Если же сказать об этом подробнее, то изучение природы и её явлений математическими методами было его заветной мечтой, которая только укрепилась в Париже. Механика, математическая физика, математический анализ — вот основные направления творческой деятельности Остроградского. Сравнительно небольшое место занимают в его творческом наследии работы по алгебре, теории чисел, теории вероятностей и вопросам страхования. Всего известно 76 опубликованных произведений Остроградского. Ряд его докладов, прочитанных в Академии и представлявших явно изложение новых соображений по вопросам теории физических явлений, не только не увидел свет, но и затерялся. В последние годы удалось изучить некоторые рукописи, представленные им Парижской академии и в то время неопубликованные. Они касаются преимущественно заметок по теории распространения теплоты. Некоторые его результаты были опубликованы другими авторами с упоминанием его имени, например результаты по распространению тепла в многогранных телах.
Около двадцати работ Остроградский посвятил механике. Среди них две большие книги: «Курс небесной механики» и «Лекции по аналитической механике». Обе эти книги интересны как своим содержанием, так и построением. Кроме того, они явились первым фундаментальным изложением этих принципиальных вопросов в русской учебной и научной литературе. Мы здесь коснемся бегло лишь тех принципиальных сдвигов, которые удалось произвести Остроградскому в общих основах механики. А механики он в своем творчестве касался широко и исследовал вопросы гидромеханики, теории упругости, аналитической механики.
В ту пору, когда началась и в полную силу развернулась научная деятельность Остроградского, всю свежесть новизны еще имела «Аналитическая механика» Лагранжа. Остроградский, склонный к поиску общих решений, не мог пройти мимо тех общих методов, которые были положены в основу аналитической механики одним из ее творцов. В своих лекциях и мемуарах Остроградский существенно развил и дополнил эти методы, что было впервые отмечено в отзыве Араго и Пуассона на его «Курс небесной механики».
В работе «Общие рассмотрения о моментах сил» (1834) Остроградский развил мысль о распространении метода возможных перемещений на системы с освобожденными связями при условии, что полная работа сил равна или меньше нуля. Полученные при этом результаты были им применены к механической системе, гибкой нерастяжимой нити, несжимаемой жидкости. Эта работа заканчивается рассмотрением вопроса о движении системы с освобожденными связями, не зависящими от времени. При этом полностью выясняется, в какой момент движения происходит освобождение от связи. Позднее Н. Е. Жуковский писал, что «с именем Остроградского всегда будет связано распространение способа возможных перемещений на системы с освобожденными связями и изложение теорем динамики с помощью рассмотрения вариаций координат, происходящих от изменения произвольных постоянных»1.
Мысли о выводе уравнений динамики системы со связями, зависящими от времени, Остроградский кратко изложил в заметке 1841 г. «О принципе возможных скоростей и силе инерции». Эта заметка была возражением на изложение принципа Даламбера в курсе механики Пуассона. Она кончается четкой критикой представлений о фиктивности сил инерции, которым Остроградский придавал реальное значение. Свой взгляд на эти системы, а также на применение метода возможных перемещений для вывода уравнений динамики Остроградский подробно развил в статье «Мемуар о возможных перемещениях систем, связанных с переменными условиями» (1838).
К распространению метода возможных перемещений Лагранжа относится исследование «Мемуар по общей теории удара» (1854). В этой работе впервые был предложен общий метод определения скоростей точек какой угодно системы при ударе о неупругую связь. В ней теорема Карно (данная для случая соударения твердых тел) о том, что при ударе о неупругую связь происходит потеря живой силы, равная живой силе потерянных скоростей, была распространена на произвольные системы со связями. Указанная работа обратила на себя внимание виднейших ученых того времени и дала повод к дискуссии относительно приоритета, связанного с обобщением теоремы Карно. Однако если и были какие-нибудь обобщения теоремы Карно до мемуара Остроградского, то они касались лишь частных вопросов. Первенства же Остроградского в решении задач теории удара в общем случае никто не оспаривал.
Небольшая статья «Заметка о вариации произвольных постоянных в задачах механики» (1829) сыграла существенную роль в развитии механических идей Остроградского. В частности, ее идеи были положены в основу «Курса небесной механики». Рецензенты этого курса — Араго и Пуассон — отмечали, что основная его идея «принадлежит автору» и «достойна внимания» и «что он выводит отсюда... принципы живых сил, центра тяжести и площадей, рассматривая специальным образом произвольную постоянную, которая добавляется ко времени, когда и силы и связи системы не зависят от этой переменной...»
Несомненно, что источником многих работ по механике для Остроградского служили те курсы лекций, которые он читал в Главном педагогическом институте и Инженерной академии. При изложении выяснялись неудачи изложения, пробелы в постановках задач, недостаточная обоснованность выводов, возможность естественных обобщений. Именно подготовка к лекциям заставляла вникать в каждую деталь и приводила к необходимости совершенствования самой механики как системы научных знаний. В свою очередь, научные результаты влияли на систему изложения и содержание читаемых курсов.
К ранее указанным работам, особенно к работам 1838 г., примыкает и статья 1832 г. «О равновесии веревочного многоугольника и гибкой нерастяжимой нити», а также главы XVIII — XX его «Лекций по аналитической механике», в которых на основе сочетания принципа возможных перемещений (в его обобщенной форме) с принципом Даламбера были выведены уравнения движения систем с неудерживающими, но стационарными связями. В заключение же сделаны некоторые замечания относительно нестационарных связей, но они носили предварительный характер. Обстоятельно рассмотрены эти вопросы были в работе «Мемуар о мгновенных перемещениях систем, подчиненных переменным условиям» (1838).
Эта работа имеет принципиальное значение для развития механики. В ней Остроградский изложил определение действительных и возможных перемещений в сочетании с обобщенной формулировкой принципа возможных перемещений; рассмотрел вопрос о силах инерции и доказал их реальность; рассмотрел связи самого общего вида — нестационарные, неудерживающие, неголономные; уравнения движения составлял для произвольных осей координат. К сожалению, эта работа, имеющая принципиальное значение для прогресса механики, до последнего времени не получила должной оценки. Дело чести советских специалистов по теоретической механике восстановить то значительное, что было создано нашим предшественником и, в сущности, отцом отечественной школы механики.
В ряде работ Остроградский развил теорию канонических уравнений механики. Известно, что Гамильтон (1805 — 1865) показал для случая существования силовой функции возможность представления дифференциальных уравнений движения системы точек в форме, носящей теперь название канонической. В результатах Гамильтона особую роль играла функция, названная им главной. Как заметил А. М. Ляпунов в докладе, посвященном столетнему юбилею Остроградского, «при всей важности этого открытия оно не могло иметь особенного практического значения вследствие сложности условий, наложенных Гамильтоном для определения главной функции». В 1836 г. Якоби заметил, что результат Гамильтона допускает обобщение, при котором вместо главной функции может рассматриваться другая, представляющая собой любое решение некоторого дифференциального уравнения в частных производных первого порядка. Это замечание приводило к особому методу интегрирования дифференциальных уравнений механики. Впоследствии он обобщил этот результат в лекциях, прочитанных в Кенигсбергском университете зимой 1842/43 учебного года. Это обобщение касалось переноса результата Гамильтона на случай, когда между точками системы имеются связи. Никаких публикаций об этом Якоби не сделал, и только в 1866 г. его лекции были изданы Клебшем, когда и Якоби и Остроградский уже скончались. Это означает, что Остроградский не мог быть знаком с тем, что сообщил слушателям Якоби в его лекциях 1842/43 учебного года. Поэтому результаты Остроградского в работе «Об интегралах общих уравнений динамики» (1846) получены независимо от Якоби. Как раз в этой статье содержится вывод канонических уравнений динамики и ряд соответствующих теорем в предположении наличия связей, которые могут зависеть от времени.
В 1848 г. Остроградский исследовал более общую задачу, которую он назвал изопериметрической. Для нее им был получен результат, аналогичный результату его и Якоби относительно канонических уравнений механики. Самое большое исследование Остроградского, связанное с механикой, «Мемуар о дифференциальных уравнениях, относящихся к изопериметрам» (1848) содержало в качестве частных случаев результаты Гамильтона, Якоби и самого Остроградского. Это показывает, что успехи теоретической механики XIX в. в значительной мере связаны с именем Остроградского, и оно никак не может быть позабыто в истории механики. Об этом следует не забывать и при чтении курсов лекций, поскольку в курсах лекций мы не только излагаем теорию, но и воспитываем, а знание истинных исторических событий оказывает огромное воспитывающее влияние.
Помимо перечисленных работ по механике, которые явились существенным вкладом в развитие этой науки и значительно ее продвинули, Остроградский написал ряд работ, вполне доброкачественных и даже хороших, но не имевших столь большого значения для прогресса механики в целом, как ранее названные. Прежде всего мы должны указать в этом контексте его первую самостоятельную работу «Мемуар о распространении волн в цилиндрическом бассейне» (1826). Эта задача имеет богатую историю. Первым ей занялся И. Ньютон. Значительно позднее, в 1776 г., к ней вернулся Лаплас и рассмотрел ее в весьма частном случае. Почти одновременно с Лапласом этой задачей занимался Лагранж, который изучал вопрос в предположении, что глубина бассейна мала. Этот результат он изложил со всеми подробностями в «Аналитической механике», неправомерно распространив выводы на любые глубины. Однако подробное исследование задачи связано лишь с именами Коши и Пуассона, которые получили общее уравнение в предположении бесконечной глубины и конечной малой глубины. Пуассон оспаривал некоторые результаты Коши, так же как и Коши, в свою очередь, не соглашался с некоторыми результатами Пуассона. Самое существенное, что внес Остроградский в изучение этого вопроса, — распространение волн в замкнутых бассейнах с конечными глубинами. Помимо указанной работы, на ту же тему им была написана еще одна статья, относящаяся к волнам в сосуде, имеющем форму сектора кругового цилиндра.
Вопросам теории упругости Остроградский посвятил три работы в 1829 и 1832 гг. Это было время нового этапа в развитии указанной теории. После длительного периода от Галилея до 1820 г., когда вырабатывались основы механики упругих тел на частных задачах, в работах Навье, Коши, Пуассона, относящихся к третьему десятилетию XIX в., были получены общие дифференциальные уравнения равновесия и движения упругих тел. Тем самым был найден общий подход к трактовке задач теории упругости. Однако оставалось еще множество неясностей, особенно относящихся к физической картине изучаемого явления. Этим объясняется полемика, постоянно возникавшая между Пуассоном, Навье и Коши, а также неудовлетворенность математической строгостью. Остроградский в своих работах значительно усилил и уточнил результаты, полученные его современниками, упростил их вывод и сделал его более цельным и строгим. Пуассон ценил результаты Остроградского и ссылался на них. Нам никак нельзя забывать того ценного, что было добыто исследованиями Остроградского в теории упругости, и мы должны правильно оценивать место этого ученого в истории науки об упругих телах.
В Центральном государственном историческом архиве в Москве сохранились документы (фонд 735, 1839 г., оп. 2, дело 115), из которых выясняются причины, побудившие Остроградского заняться исследованием полёта сферических снарядов. Оказалось, что Николай I заинтересовался сообщением генерал-майора артиллерии Философова о значительной пользе, которую можно извлечь из сочинений Пуассона «Влияние вращения Земли на полет снаряда» и «Определение траектории снаряда при учете неточности сферичности, недостаточной однородности и наличия вращения» при стрельбе так называемыми регулированными снарядами. В связи с этим он «высочайше повелеть соизволил предложить академику Остроградскому заняться сим предметом и составить программу опытов при содействии лучших воспитанников артиллерийского училища» (указанное дело, л. 1). В помощь Остроградскому были выделены «конной легкой № 54 батареи поручик Лихачев и гвардейской артиллерии подпоручики Баумгартен и Паскевич».
Через два месяца после получения указанного распоряжения, в конце августа 1839 г., непременный секретарь Академии П. Фусс докладывал министру просвещения, что «г. Остроградский в одном из последних заседаний донес конференции, что прежде, нежели он приступит к опытам и составлению требуемой программы, он нашел необходимым вникнуть тщательно в теорию предлежащего вопроса и что он намерен представить академии результаты своих исследований в отдельных записках...» (там же, л. 7).
В ответ на запрос министра просвещения о ходе работ от 20 июня 1840 г. непременный секретарь ответил, что «... по отзыву г. Остроградского, до окончания производства теоретических исследований способа г. Пуассона ему нужно будет употребить еще от 5 до 6 месяцев, так что исследование сие можно будет ему закончить к декабрю месяцу сего 1840 года, о чем он уже имел честь доносить письменно генералу князю Долгорукову. Что же касается учинения опытов, то оными можно будет заниматься не прежде, как по составлении самих теоретических исследований.
При сем случае академик Остроградский донес Академии, что между сими опытами находятся некоторые весьма точные для определения коэффициента трения воздуха о метаемый предмет. Опыты сии требуют содействия искусных физиков и необходимы для проверки теории.
В отношении к теоретическим исследованиям г. Остроградский по сему предмету (теория стрельбы регулированными снарядами) Академия имеет честь донести Вашему Высокопревосходительству, что им представлено Академии и напечатано уже первое рассуждение, относящееся до вычисления определенных интегралов, которые встречаются на каждом шагу при физико-математических исследованиях. Сверх сего рассуждения г. Остроградский представил еще записку, заключающую в себе некоторые таблицы для облегчения баллистических вычислений» (там же, л. 10 — 11).
Почти через полгода П. Фусс вторично доложил министру просвещения о ходе работ Остроградского. Он сообщил при этом, что «в заседании Академии, бывшем 18 истекшего декабря, г. академик Остроградский читал рассуждение под заглавием «Мемуар о движении сферического снаряда в воздухе», в котором выведены дифференциальные уравнения о движении метаемых тел и окончена первая часть теоретических исследований о сем предмете в отношении к стрельбе регулированными снарядами согласно возложенному на него высочайшею волею поручению. Для приведения к концу сего теоретического труда остается интегрировать те уравнения, к чему возможно будет приступить не прежде, как по определении посредством опытов трех постоянных коэффициентов, входящих в те уравнения, и сими-то опытами г. Остроградский имеет заняться ныне при содействии прикомандированных к нему на сей счет гг. артиллерийских офицеров» (там же, л. 13).
В январе 1841 г. министр просвещения приказал «дело это почесть конченным, так как г. Остроградский лично, словесно донес ему, что о последствии опытов своих он донес уже военному начальству». Результаты исследований были опубликованы Остроградским в трех статьях, напечатанных в журналах Академии. В работах Пуассона уравнения движения снаряда были выведены в предположении, что расстояние между центром инерции и геометрическим центром снаряда мало. Остроградский уже не делал этого предположения. Для снарядов того времени это обстоятельство имело большое значение, поскольку давало возможность прогнозировать рассеивание снарядов при стрельбе.
На этом не завершились интересы Остроградского к артиллерийским задачам. Так, в конце 1842 г. он сделал в Академии наук доклад «О влиянии выстрела на лафет орудия». Интерес к артиллерийским проблемам привел его к вопросу об оценке остаточного члена формулы Эйлера — Маклорена. В Артиллерийской Академии в самом конце жизни он читал курс баллистики. Кроме того, одна из его работ по теории вероятностей навеяна интересами военного министерства, в том числе артиллерийскими вопросами.
Бурное развитие экспериментальной физики, начавшееся еще в XVII в., дало огромное поле деятельности для математического исследования вновь открытых явлений и явлений давно известных. Широкое использование паровых машин в технике того времени потребовало всестороннего изучения распространения тепла в твердых и жидких средах. Мореплавание предъявило свои требования к развитию гидродинамики. Судостроение, строительство мостов и зданий, судов и стволов орудий — все нуждалось в методах расчета на прочность. Астрономов продолжало интересовать исследование закономерностей притяжения и движения небесных тел. Были открыты многочисленные факты в области магнитных и электрических явлений. Все это нуждалось в приведении в систему и переходе от качественных методов к количественным способам формулирования и изучения закономерностей. Успехи, которые были достигнуты в механике благодаря широкому привлечению математического анализа, указывали пути исследования других физических явлений. Наука вплотную подошла к широкому использованию математических методов в разнообразных областях физики.
Конец XVIII и начало XIX столетий без всяких сомнений можно считать началом создания математической физики. Период жизни, проведенный Остроградским в Париже, совпал с выходом в свет ряда фундаментальных работ, создавших в науке настоящую эпоху. Так, в 1822 г. вышла в свет «Аналитическая теория теплоты» Фурье, в 1825 г. — пятый (и последний) том «Аналитическая механика» Лапласа, в 1826 г. — «Теория электромагнитных явлений, выведенная исключительно из опыта» Ампера.
Инструмент, с помощью которого можно вскрывать количественные закономерности природы, математики видели в математическом анализе, и в первую очередь в дифференциальных уравнениях. В упомянутой здесь работе Фурье писал, что математический анализ «... не оставляет в решениях ничего туманного и неопределенного; он доводит их до последних численных приложений, необходимого условия всякого исследования, без которого мы не получили бы ничего, кроме бесполезных преобразований». Для Фурье ясно, что нет явлений природы, которые не могли бы быть исследованы математическими методами, и «рассматриваемый с этой точки зрения математический анализ столь же обширен, как сама природа...»
Мы уже говорили о том, что математическая физика была основным предметом занятий Остроградского, и механика им рассматривалась как важная естественная составляющая математической физики, дающая образцы для подражания.
Первая работа, представленная Остроградским Петербургской академии наук 1828 г., носила название «Заметка об интеграле, встречающемся в теории притяжения». В ней были продолжены известные исследования Лагранжа и Лапласа, относящиеся к концу XVIII в., и Пуассона, выполненные до 1813 г. В теории притяжения нашло самое широкое применение понятие потенциала, введенное Лагранжем. Лаплас обратил внимание на то, что для сил, действующих по закону Ньютона, потенциал удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка в частных производных, известному теперь под именем уравнения Лапласа. Впрочем, это уравнение рассматривал задолго до Лапласа еще Эйлер. Почти через тридцать лет после Лапласа Пуассон обратил внимание на то, что это уравнение имеет место лишь при условии, что притягиваемая точка расположена вне притягивающего тела; если же она лежит внутри тела или на его поверхности, то уравнение принимает особую форму, называемую теперь уравнением Пуассона.
Остроградский в своей работе предложил новый способ вывода уравнения Пуассона. В примечании к ней он указал на то, что о существовании работы Пуассона он узнал лишь тогда, когда все результаты были полностью получены. Интересно заметить, что за четыре года до публикации работы Остроградского (1831) в одной из глав известных «Математических упражнений» Коши был дан вывод уравнения Пуассона, совпадающий в мельчайших деталях с рассуждениями Остроградского. Коши при этом указал на то, что приведенный им прием доказательства сообщен ему Остроградским. По-видимому, именно об этом замечании Коши с таким волнением рассказывал брату Остроградского Павловский.
В том же 1828 г. Остроградский представил Академии наук еще одну работу, но посвященную другому направлению математической физики — теории распространения тепла. В этой замечательной статье впервые были рассмотрены весьма важные вопросы математического анализа, впоследствии сделавшиеся значительными направлениями исследований ряда крупных математиков. В частности, в этой статье была впервые приведена знаменитая формула, получившая наименование формулы Остроградского — Гаусса, связывающая интеграл по объему с интегралом по поверхности. Доказательство же ее было дано ранее в заметке, представленной Парижской академии наук, но там не опубликованной. В статье была также поставлена задача исследования сходимости тригонометрических рядов и задолго до Римана высказан так называемый принцип локализации, широко используемый при изучении этой сходимости.
На следующий год им была опубликована «Вторая заметка по теории тепла». Обе эти заметки явились непосредственным продолжением того, что было начато Фурье, продолжено Пуассоном и другими французскими математиками. А именно после того как Фурье составил дифференциальные уравнения распространения тепла в твердом теле, появилась необходимость разработки приемов их решений. В общем виде эта задача представляет собой огромные трудности, и исследования, естественно, начались с самых простых частных случаев, в которых отчетливо выступают особенности задачи. Фурье, а затем Пуассон рассмотрели охлаждения шара, цилиндра, куба и прямоугольного параллелепипеда. Во всех перечисленных случаях Фурье применял один и тот же прием, известный теперь как метод Фурье. Однако едва ли Фурье отчетливо представлял себе всю мощь предложенного им метода. По крайней мере из работ Фурье этого не видно. И вряд ли мы сделаем ошибку, если скажем, что во всей общности метод Фурье был высказан Остроградским (1828), а затем еще раз Ламе и Дюгамелем (1829). Именно во втором мемуаре Остроградского содержится настоящая программа решения общего вопроса об охлаждении твердого тела, ограниченного произвольной поверхностью без особых точек и линий; одновременно с этим автором был поставлен ряд общих задач математического анализа, которые попытался решить строго лишь через 70 лет французский математик А. Пуанкаре (1854 — 1912).
Следует заметить, что свои результаты Остроградский выводил из общих свойств интегралов линейных уравнений какого угодно порядка с каким угодно числом независимых переменных. Эти свойства им были установлены в самом начале работы. В своих исследованиях Остроградский отчасти опередил Коши, который через 13 лет в статье «Исследования об интегралах линейных уравнений в частных производных» получил аналогичные результаты и сделал следующее примечание: «Я очень желал бы сравнить найденные мной теоремы с теми, которые получил Остроградский в одном из своих мемуаров, но, имея плохую память и даже не зная, был ли где напечатан этот мемуар Остроградского, я не имею возможности сделать это».
Долгое время не знали, можно ли применить метод Фурье решения уравнения теплопроводности для тел более сложных, чем прямоугольный параллелепипед. Остроградский первый разрешил это затруднение, рассмотрев охлаждение твердой призмы, основанием которой служит равнобедренный треугольник. К сожалению, сам Остроградский этого результата не опубликовал, и он известен нам по публикациям Ламе, опубликовавшего в изданиях Петербургской академии наук статью «О распространении тепла в многограннике» (1829). В ту пору он был профессором Петербургского института путей сообщения, постоянно встречался и дружил с Остроградским. Ламе привел в статье найденные формулы и упомянул, что они ранее были получены Остроградским. Значительно позднее в известном трактате «Лекции по аналитической теории теплоты» (Париж, 1861) Ламе посвятил случаю Остроградского целую главу и подчеркнул то обстоятельство, что рассмотренная задача была поставлена и решена Остроградским.
Получив дифференциальное уравнение распространения тепла в твердом теле, Фурье принялся за решение более сложной задачи — распространение тепла в жидкости. По словам Фурье, этот вопрос оказался весьма трудным и долгое время не поддавался математическому анализу. Только в 1820 г. он сообщил Парижской академии наук свои результаты без вывода и предложил Лапласу и Пуассону дать доказательство его результатов. Этой задачей занялся и Остроградский. В сентябре 1829 г. он представил в Петербургскую академию свой вывод искомого уравнения. В том же году Пуассон предложил другое решение задачи и получил искомое уравнение в ином виде, чем у Остроградского. Однако вскоре от этого вывода он отказался и в своей «Аналитической механике» поместил вывод Остроградского. Через три года после смерти Фурье был опубликован один из его манускриптов, в котором давался полный вывод результатов 1820 г. Ознакомившись с содержанием этой статьи, Остроградский понял, что все предшествующие выводы (Фурье, Пуассона, его собственные) следует считать ошибочными, поскольку они базировались на сомнительных допущениях. А именно жидкость считалась несжимаемой, ее плотность — зависящей только от температуры, а удельная теплоемкость — постоянной. Заметив, что подобные предположения расходятся с эмпирическими фактами, Остроградский вновь занялся этим вопросом и в 1836 г. представил новую работу о распространении тепла в жидких средах, в которой отказался от предпосылок Фурье. Таким образом, следует заметить, что подобно тому как Фурье следует считать создателем теории распространения тепла в твердых телах, Остроградского нужно признать создателем теории распространения тепла в жидкостях.
Но работа Остроградского заслуживает внимания не только из-за результата, но и из-за использованного метода. Вместо того чтобы рассматривать элементарные параллелепипеды, как это практиковалось многими французскими исследователями еще в XX в., Остроградский выделил из тела произвольный объем и составил для него интегральное уравнение. Далее он заметил, что это уравнение имеет место для произвольного объема, выделенного из жидкости, а потому он может приравнять подынтегральное выражение нулю и в результате вывести уже дифференциальное уравнение задачи. Этот метод теперь получил всеобщее употребление, но уже забыто, что он принадлежит Остроградскому.
Ряд работ, прочитанных Остроградским на заседаниях Академии наук и посвященных теории распространения тепла, не был опубликован, и о работах сохранились только сведения в протоколах Академии. Вот заголовки соответствующих докладов: «О влиянии солнечной температуры на температуру земного шара», «О выводе, данном Фурье, дифференциального уравнения распространения тепла в жидкости».
В протоколах заседаний сохранились указания на многочисленные работы, представленные Остроградским в Академию наук и посвященные разнообразным вопросам математической физики: «О взаимном намагничивании разобщенных брусков», «О вековых неравенствах в движении планет», «О некоторых формулах относительно взаимного притяжения сферы и сфероида», «Об одном особом случае равновесия несжимаемой жидкости», «О движении жидкости» и др.
Мы видим, таким образом, что Остроградский внес значительный вклад в развитие механики и математической физики. Он был не зрителем, а активным и очень деятельным участником прогресса новых методов математики и их применения к задачам исследования природы и ее явлений. Многое из того, что было сделано Остроградским, с современных позиций недостаточно полно и недостаточно строго. Но мы должны к его результатам подходить с позиций строгости того времени. Для своей же эпохи его выводы были абсолютно строги и воспроизводились без каких-либо изменений крупнейшими математиками той эпохи. Чтобы оценить заслуги ученого, необходимо мысленно перенестись в его время и представить себе те огромные трудности, которые он должен был преодолевать при создании математических моделей изучаемых явлений и при разработке тогда еще только создававшегося математического аппарата исследования. Остроградский и в то и в другое внес весомый вклад и заслуженно считался в России, Германии и Франции выдающимся ученым, с результатами и мнением которого весьма считались. Результаты Остроградского в механике и математической физике явились не просто ценными, но фундаментальными. Ему удалось принять участие в самом построении основ науки, а не только в окраске ее фасада. Его идеи и методы продолжают жить и работать. Можно только сожалеть, что мы далеко не всегда отмечаем то, что им создано и что вошло в золотой фонд современной математики.
Нужно заметить, что Остроградский работал в ту пору, когда математики еще не стали специализироваться так узко, как это мы наблюдаем теперь. Один и тот же ученый мог заниматься и небесной механикой, и математической физикой, и математическим анализом, и теорией вероятностей, и алгеброй и всюду получать новые результаты. И в то же время использовать математику в качестве орудия познания окружающего нас мира. Естественно, что для Остроградского продвижение математики было тесно связано с изучением природы. Оно оказывалось необходимым для изучения практической проблемы и попутно обосновывалось им. В историческом и методологическом плане это исключительно важно для воспитания верных представлений о месте практики в развитии науки, а также значения науки для прогресса практики.
Уже первый результат Остроградского в области математического анализа заслуживает того, чтобы на нем остановиться подробнее. Это известная формула
вошедшая теперь во все учебники математического анализа и математической физики. Она была получена Остроградским еще в 1827 г. в связи с рассмотрением задач распространения тепла в твердом теле. В наше время эта формула играет огромную роль во всей механике и математической физике. Приоритет Остроградского неоднократно отмечался в западноевропейской литературе. В знаменитой книге Максвелла (1831 —1879) «Трактат об электричестве и магнетизме» (1873) сказано: «Эта теорема впервые дана Остроградским в 1828 г.». Гаусс до Остроградского вывел эту формулу в частном случае Р = х, Q = y, R = z.
Только что приведенная формула была позднее, в 1834 г., обобщена Остроградским на случай n-кратного интеграла в работе «Мемуар об исчислении вариации кратных интегралов». В той же работе он рассмотрел ряд следствий из этого обобщения. В частности, он получил выражение производной по параметру от n -кратного интеграла с переменными пределами и вариации кратного интеграла.
Позднее, в 1840 и 1860 гг., он возвратился к этим результатам и рассмотрел интересные частные случаи полученных формул. Эти результаты были оценены еще при жизни Остроградского. Так, мемуар 1834 г. был полностью опубликован в 1861 г. известным историком математики Тотгентером в книге «История развития вариационного исчисления в течение девятнадцатого века». Однако далеко не все современники заметили, что содержалось в этом исследовании. Так, Парижская академия в 1840 г. объявила конкурс на решение проблемы об отыскании экстремума кратного интеграла, хотя она была полностью решена Остроградским за шесть лет до этого. Приоритет Остроградского был восстановлен в ряде работ профессора Одесского университета Е. Ф. Сабинина (1831 — 1909). Вот что он писал об этой работе в большой статье «М. В. Остроградский»: «Не менее, чем аналитической механике, Остроградский оказал важную услугу вариационному исчислению. В работе Остроградского «Мемуар об исчислении вариации кратных интегралов» дан общий способ для вариации частной производной от функции с любым числом переменных, а также для вариации сложного выражения, зависящего от функции и ее частных производных любых порядков. Там же выведена его формула, известная под его именем, дающая вариацию многократного интеграла, и приведены преобразования вариации многократного интеграла к удобному для приложений виду. Таким образом, в 1834 г. Остроградский дал полное решение вопроса о разыскании экстремума кратного интеграла»2. Парижская же академия присудила премию не тому, кто первый нашел полное решение, а тому, кто дал решение много позднее, и, как позднее выяснилось, содержало ошибки в основных выводах.
В статье 1836 г. «О преобразовании переменных в кратных интегралах» Остроградский указал на неопределенность правила, сформулированного Эйлером и Лагранжем для замены переменных под знаком кратного интеграла, и выяснил, что если строго следовать этому правилу, то легко прийти к ошибочным заключениям. Далее Остроградский изложил примерно тот самый способ, который теперь излагается во всех учебниках математического анализа, и добавил: «указанное преобразование может быть легко... распространено на любое число интегралов». Остроградский ограничился в статье изложением правила преобразования для двухмерного и трехмерного случаев, добавив, что он предпочел «употребить геометрические рассуждения для большей ясности, ибо мы предназначаем это рассуждение для лиц, мало искушенных в математическом анализе». Общее правило замены переменных в кратных интегралах имеется в лекциях Остроградского, экземпляр которых был найден в 1951 г. в хранилищах Государственной публичной библиотеки им. В. И. Ленина и опубликован в томе «М. В. Остроградский» (Гос. изд. физико-математической лит-ры. М., 1961, с. 152 — 252). В рукописном фонде Остроградского (Киев) сохранились листы рукописей, в которых рассуждения проведены и для n-мерных интегралов. При этом используется арсенал определителей, получивших название якобиана. Заметим, что Якоби (1804 — 1851) только через пять лет (1841) опубликовал статью о преобразовании переменных в кратных интегралах и ввел понятие якобиана, хотя все это для двух- и трехмерного случаев содержалось в указанной работе Остроградского. Мы видим, таким образом, что результаты Остроградского вошли в фундамент современного математического образования. Для воспитания творческой смелости нашей математической молодежи (да и только ли математической?) очень важно своевременно указать роль отечественных ученых в развитии современной науки. К сожалению, в таком контексте имя Остроградского упоминается значительно реже, чем следовало бы.
Мы не можем обойти результаты Остроградского по интегрированию алгебраических функций. Этому вопросу он посвятил пять статей, три из них относятся к 1833 г., а остальные две — к 1842 и 1844 гг. Речь идет о следующем. Нужно найти интеграл
где R(x , y) является рациональной функцией от x и y. Функция же y = y(x) определена неприводимым уравнением
yn + A1 yn–1+ … + An = 0,
в котором коэффициенты Ak являются рациональными функциями одной лишь переменной x. Спрашивается, какой вид имеет интеграл, о котором идет речь, когда он является алгебраической функцией?
Оказалось, что общий вид алгебраического интеграла есть целая рациональная функция y степени n – 1 с коэффициентами, представляющими собой рациональные функции x. Отсюда следует, что если требуется проинтегрировать рациональную функцию R(x) (в этом случае n = 1), то алгебраическим интегралом от нее может быть только рациональная функция. Далее Остроградский сделал простые, но полезные замечания: интеграл не может быть алгебраической функцией, если а) после выделения целой части из подынтегральной функции остается рациональная дробь, в которой степень многочлена, стоящего в числителе, только на единицу меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе; б) знаменатель не имеет кратных корней.
Остроградский доказал, что если интеграл является алгебраической функцией, то ее знаменатель равен наибольшему делителю знаменателя подынтегральной функции и его первой производной; числитель же может быть найден методом неопределенных коэффициентов. Специальному исследованию Остроградский подверг частный случай, когда y является решением уравнения y2 – R(x) = 0, в котором R(x) является многочленом от x.
В статье 1844 г. Остроградский решил задачу об отыскании алгебраической части интеграла от рациональной функции. Этот результат теперь излагается в ряде курсов математического анализа3. К сожалению, у нас нет здесь возможности изложить все остальные результаты Остроградского по указанной проблематике.
В 1838 г. была напечатана небольшая заметка Остроградского, посвященная обыкновенным линейным дифференциальным уравнениям. В ней был сформулирован и доказан результат, который теперь излагается во всех курсах теории дифференциальных уравнений. Этот результат состоит в следующем: пусть дано дифференциальное уравнение
yn + P1(x)yn–1+ … + Pn(x ) = Q (x),
и его частные решения — y1, y2, .... yn. Тогда имеет место тождество:
где а — постоянная.
Доказательство этого факта, предложенное Остроградским, ничем не отличается от того, какое теперь обычно излагается в учебниках. Часто этот результат называют теоремой Лиувилля, но он был опубликован Лиувиллем на несколько лет позже Остроградского. Обычно при этом забывают, что до Остроградского и Лиувилля математиком Либри был получен некоторый факт, из которого путем преобразований можно получить только что выписанное тождество.
Остроградский был математиком широкого профиля и поэтому не упускал возможности обратиться к вопросам других областей математического знания, помимо тех, которые по праву считаются его специальностью. Так он прочитал публичный курс лекции «Лекции алгебраического и трансцендентного анализа», изданных в 1837 г. и сыгравших весьма значительную роль в развитии интересов к алгебре в среде русских математиков. Остроградский предложил новый прием выделения кратных корней алгебраических многочленов, отличающийся от ранее существовавших. По словам специалистов, им были рассмотрены вопросы, которые по праву можно считать провозвестниками теории линейного программирования. Он составил таблицы первообразных корней для всех простых чисел, меньших 200. Позднее таблицы Остроградcкого были перепечатаны П. Л. Чебышевым (1821 — 1894) в его знаменитой «Теории сравнений».
Теории вероятностей Остроградский посвятил шесть статей. Имеются еще сведения о том, что он опубликовал три лекции по курсу теории вероятностей, но мне их найти не удалось. То, что такие лекции он писал, я установил при разборе его рукописей, хранящихся в Государственной республиканской библиотеке в Киеве. Первую статью по теории вероятностей он написал еще в 1834 г., а последнюю — в 1859 г. — в самом конце своего жизненного пути. Было найдено несколько листков рукописей, посвященных истории теории вероятностей. По-видимому, они составляли часть вводной лекции по курсу теории вероятностей, которые им были прочитаны в ряде учебных заведений.
Активная работа Остроградского пришлась на тот период развития теории вероятностей, когда физика еще не поставила перед ней серьезных проблем, за исключением, пожалуй, теории ошибок наблюдений. Исследования Максвелла по кинетической теории газов приходятся на самые последние годы жизни Остроградского, а идеи Ломоносова о молекулярном строении вещества были основательно забыты и во всяком случае еще не стали предметом математических исследований. Приложения теории вероятностей к теории стрельбы находились еще в зачаточном состоянии. Тем интереснее исходные позиции автора в его самой большой работе по теории вероятностей «Об одном вопросе теории вероятностей», которая была написана в 1846 г. и опубликована через два года.
Работа посвящена решению простого вопроса. В урне содержатся белые и черные шары. Общее их число известно. Наудачу из урны вынимается некоторое количество шаров, и фиксируется число шаров каждого цвета. После этого испытания требуется ответить на два следующих вопроса: «Чему равна вероятность того или иного содержимого урны?», «Чему равна вероятность того, что число белых шаров не превзойдет заданного предела?» Эти вопросы сегодня для нас просты, и на них способен ответить любой студент, прошедший курс теории вероятностей. Но сейчас эта работа важна не решенными в ней задачами, а той реальной окраской, которую придал ей Остроградский.
«Чтобы понять важность этого вопроса, заметим, что постановка его уместна, когда имеются затруднения при получении большого числа предметов, обладающих некоторыми качествами, и когда нужно затратить некоторое время на каждый предмет для того, чтобы убедиться в наличии этих качеств. Армейские поставщики часто должны делать работу подобного рода. Для них шарами, заключенными в урне, служат получаемые предметы: белые, например, — предметы, обладающие требуемыми условиями для приемки, и черные — те, которые им не удовлетворяют. Извлечение некоторого числа шаров для проверки их цвета подобно ревизии части получаемых предметов с целью выяснения их качества. Зафиксировав эту часть в количестве пяти, шести или семи предметов на сотню, выбирают соответствующее число предметов случайно из всей совокупности, затем после того как они будут изучены и посчитаны, те, которые могут быть приняты, определяют вероятность того, что общее число приемлемых предметов во всей совокупности не выходит из пределов, которые назначены наперед. Это определение производится так, как если бы определялось число белых и черных шаров в урне... Таким образом, решение предложенного нами вопроса может служить поставщикам для сокращения, приблизительно до двадцатой части механической работы, чаще всего очень утомительной, по проверке очень большого числа мешков с мукой или кусков сукна». Остроградский приводит аналитические расчеты, решающие задачу, и в конце статьи дает таблицы, предназначенные для практического применения развитой им теории.
Мы коротко остановимся еще на одной статье Остроградского «Записка об эмеритальной кассе с тремя таблицами», которая была опубликована в 1858 г. в сборнике «Предположение об учреждении в Морском ведомстве эмеритальной пенсионной кассы». В записке А. Н. Крылова «Памяти М. В. Остроградского» (Архив АН СССР, фонд 759, оп. 1, № 354, с. 22) содержится следующее указание на истоки работы Остроградского по страхованию. «В 1856 г. по Парижскому трактату Россия была лишена права иметь флот на Черном море. Предстояло увольнение большого числа служащих, и для улучшения их положения было решено учредить при Морском ведомстве эмеритальную кассу, которая должна была начать выдачу пенсий в 1858 г. Страхование жизни было тогда дело новое, а тем более расчет эмеритальных касс и установление размеров пенсий в соответствии с размерами вычетов из содержания, поэтому в комиссию, которая должна была выработать положение о кассе, вошли оба академика по математике, т. е. Остроградский и Буняковский, которые и произвели все необходимые расчеты и теоретическое их обоснование. Труды этой комиссии тогда же были напечатаны, и в них находится замечательная записка Остроградского и ряд совместных его записок с Буняковским». В последнем утверждении А. Н. Крылова допущена неточность: в указанном сборнике нет совместных работ Остроградского и Буняковского, а имеется лишь одна указанная ранее статья Остроградского.
Статьи Остроградского по теории вероятностей ярко демонстрируют его постоянное стремление решать те задачи, которые нужны для познания окружающего нас мира, с одной стороны, и для решения насущных задач, стоящих перед обществом, — с другой. Не случайно он согласился участвовать в написании работ в помощь эмеритальным кассам. За этим стояло его стремление помочь многим тысячам соотечественников, оказавшихся без работы после поражения в Севастопольской кампании.
В заключение мы приведем некоторые соображения но одному поводу, связанному с научной жизнью Остроградского. Ему дважды представляли в Академии работы Лобачевского, и он оба раза давал на них резко отрицательные отзывы. Один из его отзывов на большую работу «О началах геометрии» был написан в 1832 г. Мы полностью его приведем.
«Рапорт в императорскую Академию наук.
Академия поручила мне рассмотреть одну работу по геометрии г-на Лобачевского, ректора Казанского университета, и дать о ней устный отзыв.
Автор, по-видимому, задался целью писать таким образом, чтобы его нельзя было понять. Он достиг этой цели; большая часть книги осталась столь же неизвестной для меня, как если бы я никогда не видел ее. В ней я понял только следующее.
Можно допустить, что сумма углов в треугольнике меньше, чем два прямых угла. Геометрия, вытекающая из этой гипотезы, труднее и пространнее той, которая известна нам, и может служить подспорьем в чистом анализе, и особенно в теории определенных интегралов, так как она уже послужила для нахождения значения двух определенных интегралов, которые еще никому не удавалось получить и которые было бы, кроме того, трудно получить другим способом.
О том, что я прочел, я считаю долгом сообщить Академии:
1) из двух определенных интегралов, которые г-н Лобачевский считает своим открытием, один уже известен. Его можно получить на основании самых элементарных принципов интегрального исчисления. Значение другого интеграла, данное на с. 120, является поистине новым. Оно — достояние г-на Казанского ректора. К несчастью, оно неверно4;
2) все, что я понял в геометрии г-на Лобачевского, ниже посредственного;
3) все, что я не понял, было, по-видимому, плохо изложено по той же самой причине, что в нем трудно разобраться.
Из этого я вывел заключение, что работа г-на ректора Лобачевского опорочена ошибкой, что она небрежно изложена и что, следовательно, она не заслуживает внимания Академии».
Так в чем же здесь дело? Можно только сожалеть о том, что величайший геометр, ярчайший математический гений не был понят выдающимся его современником. Но следует сказать, что Остроградский нигде не критикует сами геометрические построения Лобачевского, а весь свой пыл направляет на ошибочно, по его мнению, вычисленный интеграл и на плохое изложение работы. В отрицательной оценке творчества Лобачевского, несомненно, какую-то роль сыграли и элементы некоторого пренебрежения академика, признанного математика, выдающегося педагога, привыкшего писать и научные работы доступным языком, по отношению к неизвестному провинциалу, настойчиво добивающегося признания его идей, непонятных и к тому же неудачно изложенных. Остроградский, высоко ценивший четкость и изящество изложения, привык к мысли — раз он, первый математик России, чего-либо не понимает с первого просмотра, то это не может быть ценным математическим результатом. Нужно вспомнить и то, что Гаусс, сам разработавший элементы неевклидовой геометрии, писал о работах Лобачевского, что их «можно уподобить запутанному лесу, через который нельзя найти дороги, не изучив предварительно, каждого дерева». Остроградский не желал тратить свое время на «изучение каждого дерева», тем более что их было много. Но для меня несомненно, что будь работа Лобачевского изложена лучше, доступнее и будь основная ее идея ярче выделена, Остроградский сумел бы оценить ее по достоинству. И его не остановили бы опасения быть непонятым другими, чего так боялся Гаусс до конца своей жизни. Несомненно, что свою роль сыграли и традиции тысячелетнего преклонения перед авторитетом Евклида.
Примерно к таким же ответам на поставленный нами вопрос пришел и превосходный знаток неевклидовой геометрии профессор Казанского университета А. П. Котельников (1865 — 1944). Вот его подлинные слова: «Чтение этой работы для всякого, кто в первый раз начинает знакомиться с «воображаемой геометрией» Лобачевского, представляет громадные, даже непреодолимые трудности... Но кроме этих трудностей, которые коренятся в существе самого предмета, на пути читателя Лобачевский воздвиг еще и новые трудности. Первая часть «О началах геометрии», в которой как раз и содержится все наиболее существенное для понимания его «воображаемой геометрии», не содержит почти никаких доказательств, написана чрезвычайно сжато и носит лишь характер сжатого конспекта... В особенности затруднительны выкладки в последней части, причем иногда перемена обозначений способна привести читателя в отчаяние. К этому нужно еще добавить что в «Казанском вестнике» были допущены довольно многочисленные опечатки, затруднявшие чтение»5.
Остроградский ценен не только результатами собственных научных исследований, но и тем, что он был научным знаменем России в течение более чем тридцати лет. Мы его ценим и как основателя русской научной школы, работавшей и работающей в области прикладной математики и механики. Так, организующая роль Остроградского отчетливо воспринималась его современниками. В этом отношении характерным является мнение одного из учеников Остроградского К. А. Яниша, писавшего во вводной части к книге «О началах равновесия и движения» (Спб, 1838, с. IV): «Центром всей математической деятельности в России вполне можно назвать Остроградского. Его ученые труды, его советы, может быть, служат основанием всему, что по части математических наук делается у нас несколько замечательного».
- 1. Жуковский Н. Е. Ученые труды М. В. Остроградского по механике. — Собр. соч., т. VII. М. — Л., 1950.
- 2. Сабинин Е. Ф. Математический сборник, т. 22, Вып. 4. 1901, с. 499 — 531.
- 3. См., например: Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. II. М.— Л., 1951, с. 49.
- 4. В действительности ошибся Остроградский, и Лобачевский был прав.
- 5. Цитировано по кн. Кагана В. Ф. «Лобачевский». М. — Л., Изд-во АН СССР, 1944, с. 191 — 192.
Добавить комментарий