§2

Если нельзя доказать предложение №1 (в действительности оказывается, что нельзя доказать целый ряд предложений), то вполне естественно принять некоторые предложения без доказательства. Во всяком случае другого выхода нет, мы вынуждены это сделать.

Предложения, принимаемые без доказательства, называются аксиомами.

Предложения, получаемые из аксиом или других ранее доказанных утверждений путем логических умозаключений, называются теоремами.

С аксиомами вы уже встречались в курсе геометрии VI класса (см., например, учебное пособие по геометрии А. В. Погорелова).

Напомним эти аксиомы.

1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

3. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

4. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

5. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой точкой.

6. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

7. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

8. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.

9. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

10. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

На основе этих десяти аксиом и строится курс планиметрии. В учебном пособии А. В. Погорелова в разделе IX класса дополнительно вводятся три аксиомы, выражающие основные свойства плоскостей в пространстве.

Вопрос. Если аксиома представляет собой предложение, принимаемое без доказательства, то, по всей видимости, в качестве аксиомы можно принять любое произвольно выбранное предложение. Согласны ли вы с этим?

Ответы.

А. Да, согласен (см. указание 4).

Б. Нет, не согласен (см. указание 5).

В. Не знаю (см. указание 6).