Вы здесь

Я рассказываю о целых числах

 

Целые числа изучаются где-то в пятом или шестом классе. Моей внучке шесть с половиной лет, но она смышлёная и уже знает натуральные числа, поэтому ей можно рассказать и о целых числах.

Далее я описываю, как это делалось, какие приёмы применялись.

 

Методические аспекты

 

1. Число ноль.

Я начинал с простого:

5–2 = 3.  Было пять птичек, две птички улетело, сколько осталось?  — Три.

5–4 = 1. Было пять птичек, четыре птички улетело, сколько осталось?  — Одна.

5–5 = ? Было пять птичек, пять птичек улетело, сколько осталось?  — Все улетели! Ни одной нет!

5–5=0! Есть такое число, и оно называется ноль. Ноль — значит пусто. Нет ничего!

Потом на примерах объясняю, что ноль можно добавить к любому числу, или отнять от любого числа, ничего не изменится.

Число 0 — особое число. В древности, 2000 лет тому назад даже самые умные дяди и тёти не знали, что есть такое число, — ноль!

2. Отрицательные числа.

Допустим, что ты должна сестре одну конфетку.

Это сколько? Одна? Нет, потому что если это одна конфетка, то её можно съесть. А конфетку, которую ты кому-то должна, съесть нельзя, потому что её сейчас нет, а появится, то нужно отдать.

Итак, это сколько? — минус 1.

До сих пор все рассуждения опирались на обычный житейский опыт. Но так долго продолжаться не может. Пора вводить удобную модель, адекватную целым числам, потому что абстрактные рассуждения, без опоры на наглядность, для ребёнка трудны.

Подходящей моделью являются шашки.

Белые шашки — положительные числа, чёрные — отрицательные. И даже коробка из-под шашек с закруглёнными краями, по виду чем-то напоминающая нуль, служит наглядным изображением нуля.

Более того, коробка из-под шашек служит моделью нуля. Во-первых, пустая коробка, понятно, что нуль.

А если в коробке одна белая и одна чёрная шашка, то тоже нуль. Объяснение такое: если у тебя есть одна конфетка, а ты должна отдать одну конфетку, сколько конфеток ты можешь съесть? Ни одной: 1+ (– 1) = 0.

Аналогично 2 белых и 2 чёрных: 2+ (– 2) = 0.

И т.п.

3. Введение числовой оси.

Берётся коробка с равным количеством белых и чёрных шашек. — Это нуль.

Достаём чёрную шашку и кладём слева от коробки, достаём белую и кладём справа.

Получился ряд:

Продолжаем:

И т.д.

Сразу бросаются в глаза ряды:

1, 2, 3… упорядочен слева направо,

–1, –2, –3... упорядочен в обратном порядке.

Поэтому весь ряд целых чисел легко восстанавливается до любых, каких угодно чисел.

Наконец, нужно упорядочить все числа в порядке возрастания (убывания). Это делается на примерах.

— Что больше, пять конфеток или две?

— Пять больше.

— Да, иметь пять конфеток лучше, чем две.

— А что больше, т.е. лучше иметь, одну конфетку, или долг в одну конфетку?

— Иметь одну конфетку.

— Значит, 1 больше, чем (–1).

И т.п. Так через несколько сравнений приходим к выводу:

На числовой оси — чем правее, тем больше число. 

4. Сложение и вычитание целых чисел.

Некоторые ситуации с помощью шашечной модели представляются очень просто:

5-3=2: от пяти белых шашек убрать три белые шашки, останутся две белые шашки, или,

(–4) – (–3) = (–1): от четырёх чёрных шашек убрать три чёрные шашки будет 1 чёрная шашка.

Прочие ситуации разрешаются в рамках шашечной модели двумя способами:

Первый способ, — убираем нули.

5+(–3) = 2.

Чёрная и белая шашка вместе, это нуль, их можно убрать.   Убрав три пары разноимённых шашек, получаем в итоге две белые шашки.

 

Второй способ, — добавляем нули.

(–2) – (–6) = ?

Шесть чёрных шашек  от двух не отнять, — слишком мало чёрных шашек. Тогда добавляем 4 нуля, потом убираем шесть чёрных шашек и получаем ответ.

(–2) – (–6) = 4.

5. Перевод реальных задач на язык математики.

Такому переводу нужно учить всегда и как-бы между прочим. В результате должны сформироваться следующие два ряда противоположных понятий:

— имею, плюс, прилетели, стало больше, прибавилось и т.п.,

— долг, минус, улетели, стало меньше, убавилось и т.п. 

 

Психологические аспекты


1. Главный акцент нужно делать не на знания, а на действия, которые обеспечивают решение следующих задач:

— выстроить ряд целых чисел,

— найти шашку, обозначающую то или иное число,

— сравнить два числа с опорой на числовой ряд из шашек,

— сложение и вычитание чисел без манипуляций с нулём,

— сложение и вычитание с убиранием нулей,

— сложение и вычитание с добавлением нулей.

Нужно добиться того, чтобы соответствующие действия выполнялись легко, без затруднений и воспринимались как естественные и очевидные.

Тогда они будут интериоризированы, т.е. станут внутренним, психологическим приобретением, после чего операции с целыми числами никогда не будут вызывать затруднений.

2. "Число 0 — особое число. В древности, 2000 лет тому назад даже самые умные дяди и тёти не знали, что есть такое число, — ноль!"

О таком обязательно нужно говорить, чтобы у учеников формировалась уверенность в собственных силах.

Если есть повод показать ученику, что "не боги горшки обжигают" и что самые великие учёные и исследователи — тоже люди, такие же как мы, это обязательно нужно сделать!

3. Подкрепление и награда.

Занятие следует проводить тогда, когда у ребёнка есть настроение. На занятии нужно поддерживать положительный эмоциональный фон. Если становится скучно — занятие немедленно прекращается.

После занятия нужно наградить за хорошую работу. Я, например, ставлю пятёрки или даже пятёрки с плюсом. И ещё, маленькие пятёрки, как букашки-таракашки, ребёнка не впечатляют. Нужно взять большой листок бумаги и на нём нарисовать большую-пребольшую пятёрку.

© А.А. Дмитриевский

 

Комментарии (14)

Галактион - Ср, 27/11/2013 - 05:49

Простейшим множеством чисел является множество булевых чисел IB. Множество булевых чисел состоит из числа 0 (ноль) и числа 1 (один). Иначе говоря, IB = {0; 1}. У русских число "ноль" (0) называется "ни один" (¬1) и не называется "не один" (cр. предложение "На небе ни [одного] облака." и предложение "На небе не одно облако."). Из изложенного следует, что у русских простейшее множество чисел состоит из числа 1 (один) и числа ¬1 (ни один). Иначе говоря, у русских IB = {¬1; 1}. Множество булевых чисел содержит много чисел, тогда как пустое множество не содержит ни одного числа. Мощность множества булевых чисел не равна ни одному из булевых чисел, зато равна натуральному числу 2 (два). Иначе говоря, ∀x (x ∈ IB → Card(IB) ≠ x) ∧ 2 ∈ IN ∧ Card(IB) = 2. Мощность пустого множества равна одному из булевых чисел, а именно числу 0. Иначе говоря, 0 ∈ IB ∧ Card (∅) = 0. Множество булевых чисел строго содержится в множестве натуральных чисел, а множество натуральных чисел строго содержится в множестве целых чисел. Иначе говоря, IB ⊂ IN ∧ IN ⊂ IZ.
admin - Ср, 27/11/2013 - 10:06

Это просто прикол!
Галактион - Ср, 27/11/2013 - 12:56

В русском языке есть количественные числительные (ни один, один, два, три, ...), порядковые числительные (первый, второй, третий, ...), собирательные числительные (двое, трое, ...).
Галактион - Чт, 28/11/2013 - 12:33

Уважаемый Александр Антонович.


Предположим, что Вы и А.П. Киселёв правы, утверждая, что ноль не принадлежит множеству натуральных чисел. В таком случае, множество булевых чисел {0, 1} не содержится во множестве натуральных чисел.


Предположим, что я прав, утверждая, что ноль принадлежит множеству натуральных чисел. В таком случае, множество булевых чисел содержится во множестве натуральных чисел.

admin - Чт, 28/11/2013 - 19:55

Уважаемый Галактион!

Относить нуль к натуральным числам или нет — это вопрос договорённости. Исторически нуль имеет особую судьбу, отличную от судьбы натуральных чисел. Кроме того, нуль в отличие натуральных чисел не имеет отрицательного двойника. Поэтому нуль не считается натуральным числом.
— И, наверное, так удобнее. В любом случае ничего менять не надо, иначе будет ненужная путаница.

 

Галактион - Сб, 30/11/2013 - 17:37

Уважаемый Александр Антонович.


1. Если "относить нуль к натуральным числам или нет - это вопрос договорённости", тогда считать ли Землю центром Солнечной системы или нет - это вопрос договоренности тоже.


2. Под простейшими натуральными числами можно понимать либо строки, образованные только с помощью цифры 1 (например, 610 = 1111111, а 710 = 11111111), либо строки, образованные только с помощью цифр 0 и 1 (например, 610 = 1102, а 710 = 1112)

.

3. В "одноричной" системе счисления 1111111 + 11111111 = 11111111111111. В двоичной системе счисления 1102 + 1112 = 11012.


4. Вы уже показали, что сложение в двоичной системе счисления алгоритмически столь же элементарно, как и сложение в "одноричной" системе счисления.


5. Вы можете рассчитать [физическую] работу по перемещению одинаковых камешков, каждый из которых моделирует цифру 1 и имеет массу m, при [физическом] сложении 1111111 + 11111111 в "одноричной" системе счисления и [физическом] сложении 1102 + 1112 в двоичной системе счисления.

admin - Сб, 30/11/2013 - 21:01

Извините, но смысла аналогий из пунктов 1 и 5 я не понимаю.
Галактион - Сб, 30/11/2013 - 23:09

Уважаемый Александр Антонович.


Напишите, пожалуйста, Ваш ответ на вопрос, вынесенный в заголовок.


P.S. Можно принять по определению, что любое натуральное число - это строка, которая состоит только из одинаковых символов (например, символов "1"). Руководствуясь указанным определением натурального числа, строки "1", "11", "111", "1111" следует считать натуральными числами, а строки "0", "10", "100", "10,1", "10:10" не следует считать натуральными числами.

admin - Вс, 01/12/2013 - 09:37

Уважаемый Галактион.

В русской традиции нуль не относится к натуральным числам. — Это вопрос договорённости.

Но поскольку нуль можно относить к натуральным числам, а можно не относить, я решил вообще снять этот вопрос с обсуждения, вырезав из текста основного сообщения абзац:

«А пока напомню, что такое целые числа, — может быть, кто-то не помнит.

1,  2,  3,  4, … и т.д. это натуральные числа.

(-1),  (-2),  (-3),  (-4), … и т.д. это отрицательные числа.

0 — это  не натуральное и не отрицательное число.

Целые числа это натуральные, отрицательные числа и ноль, все вместе взятые.»

Увы, это ещё одна уступка иностранному давлению, отказ от наших традиций.

Галактион - Пт, 06/12/2013 - 16:12

Уважаемый Александр Антонович.


1. Я не буду протестовать, если "в русской традиции нуль" станет "относится к натуральным числам".


2. Также я не буду протестовать, если: 1) Русский Север будут омывать воды Русского океана, 2) двоичная система счисления будет именоваться русской системой счисления, 3) Вас признают основоположником русской народной арифметики.


3. Я уже написал программу, иллюстрирующую предложеный Вами метод сложения чисел в двоичной (русской) системе счисления. В этой программе символы "1" бродят по пустым клеточкам в соответствии с правилами русской народной арифметики.

admin - Пт, 06/12/2013 - 19:19

Уважаемый Галактион!
Мне показалось, что в этом Вашем комментарии есть некоторая доля ехидства, поэтому я ответил известным Вам образом.
Но, оказалось, что это нет так.
Поэтому я скрыл свой последний ответ на этот комментарий, а Ваш самый последний комментарий вообще не публиковал.
Желаю всего наилучшего.
Галактион - Пт, 06/12/2013 - 23:24

Уважаемый Александр Антонович.

В ближайшее время Вы получите текст программы, упомянутой в сообщении "О русской народной арифметике". Надеюсь, Вы побеседуете с Вашими близкими о достоинствах и недостатках этой программы.


P.S. Если есть русские народные инструменты, русские народные сказки, русские народные песни и т. д., то, по моему мнению, должна быть и русская народная арифметика.

admin - Сб, 07/12/2013 - 18:55

Преамбулу программы, которую Вы поместили в комментарий я не опубликовал.
У меня вопрос: зачем вообще нужна эта программа? — Чтобы написать хорошую программу, нужно затратить немало сил.
Вы уверены, что Ваши силы нельзя применить более эффективно?
Галактион - Вс, 08/12/2013 - 12:02

Уважаемый Александр Антонович.


Ответ на Ваш вопрос ("Зачем вообще ... ?") содержится в п. 3 моего сообщения от 06/12/2013 - 17:12.


Я не возражаю, чтобы программа, иллюстрирующая предложенный Вами метод сложения чисел в русской (двоичной) системе счисления, стала аналогом любого русского народного инструмента (например, балалайки), любой русской народной песни (например, "Калинки-малинки"), любого русского национального блюда (например, "Стерляди по-русски") и т. д.


P.S. Поскольку я почти ничего не знаю и почти ничего не умею, постольку я не способен найти ответы на почти все вопросы.